【題目】如圖，在多面體中，四邊形為菱形， ， ，且平面平面.

（1）求證： ；

（2）若， ，求二面角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2) .

【解析】【試題分析】(1)連接,根據(jù)菱形的幾何性質(zhì)有,由面面垂直的性質(zhì)定理可知平面,所以, , ,所以平面,所以.(2) 設(shè)，過點作的平行線，以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系,通過計算平面和平面的法向量來求二面角的余弦值.

【試題解析】

（1）證明：

連接，由四邊形為菱形可知，

∵平面平面，且交線為，

∴平面，∴，

又，∴，

∵，∴平面，

∵平面，∴；

（2）解：設(shè)，過點作的平行線，

由（1）可知兩兩互相垂直，

則可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，

所以，

設(shè)平面的法向量為，則，即，

取，則為平面的一個法向量，

同理可得為平面的一個法向量.

則，

又二面角的平面角為鈍角，則其余弦值為.

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包裹件數(shù)范圍

包裹件數(shù)

（近似處理）

天數(shù)

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（2）（i）估計該公司對每件包裹收取的快遞費的平均值；

（ii）公司將快遞費的三分之一作為前臺工作人員的工資和公司利潤，剩余的用作其他費用.目前前臺有工作人員人，每人每天攬件不超過件，工資元.公司正在考慮是否將前臺工作人員裁減人，試計算裁員前后公司每日利潤的數(shù)學(xué)期望，并判斷裁員是否對提高公司利潤更有利？

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