Question

已知向量

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），

c

=（1，7sinα），且0＜β＜α＜

π

2

．若

a

•

b

=

13

14

，

a

∥

c

．
（1）求β的值；
（2）求cos（2α-

1

2

β）的值．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算和平行向量之間的關(guān)系可得cos（α-β）與cosα的值，在于αβ的范圍可求出sin（α-β）與sinα的值，進(jìn)而根據(jù)兩角和與差的正弦公式可得sinβ與cosβ的值，最后得到答案．
（2）先將（1）中結(jié)果代入，再根據(jù)2α-

π

6

=2（α-

π

3

）+

π

2

運(yùn)用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和二倍角公式可得答案．

解答：解：（1）由

a

•

b

=

13

14

，得cos（α-β）=

13

14

，由

a

∥

b

得cosα=

1

7

因?yàn)?＜β＜α＜

π

2

，所以α-β∈(0，

π

2

)，所以sin（α-β）=

3 3

14

，sinα=

4 3

7

sinβ=sin[α-（α-β）]=sinαcos（α-β）-cosαsin（α-β）=

4 3

7

•

13

14

-

1

7

•

3 3

14

=

3

2

所以cosβ=

1

2

，故tanβ=

3

（2）由（1）得β=

π

3

，所以由cos（α-β）=

13

14

，得cos（α-

π

3

）=

13

14

所以cos（2α-

1

2

β）=cos（2α-

π

6

）=cos[2（α-

π

3

）+

π

2

]=-sin2（α-

π

3

）
=-2sin（α-

π

3

）cos（α-

π

3

）=-

39 3

98

點(diǎn)評(píng)：用已知角來表示未知角是思考這類問題的一般出發(fā)點(diǎn)．重點(diǎn)在于考查同學(xué)們誘導(dǎo)公式的記憶和靈活運(yùn)用．