【題目】海州市六一兒童節(jié)期間在婦女兒童活動中心舉行小學生“海州杯”圍棋比賽，規(guī)則如下：甲、乙兩名選手比賽時，每局勝者得1分，負者得0分，比賽進行到有一人比對方多2分或賽滿6局時比賽結束.設某校選手甲與另一選手乙比賽時，甲每局獲勝的概率皆為，且各局比賽勝負互不影響，已知第二局比賽結束時比賽停止的概率為.

(1)求的值；

(2)設表示比賽停止時已比賽的局數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】試題分析：（1）依據(jù)題設比賽結束時須滿足“甲連勝2局或乙連勝2局”且這兩事件互斥，可借助這一條件建立方程求出；（2）依據(jù)題設條件分別求出，，.再運用隨機變量的分布列 數(shù)學期望公式求出.

試題解析：

(1)依題意，當甲連勝2局或乙連勝2局時，第二局比賽結束時比賽結束，

∴有，解得或.

∵，∴.

(2)依題意知的所有可能值為2，4，6，

設每兩局比賽為一輪，則該輪結束時比賽停止的概率為，若該輪結束時比賽還將繼續(xù)，則甲、乙在該輪中必是各得一分，此時，該輪比賽結果對下輪比賽是否停止沒有影響.

從而有，，

.

∴隨機變量的分布列為：

則.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知直角梯形中，是邊長為2的等邊三角形，．沿將折起，使至處，且；然后再將沿折起，使至處，且面面，和在面的同側．

(Ⅰ) 求證：平面；

(Ⅱ) 求平面與平面所構成的銳二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】“共享單車”的出現(xiàn)，為我們提供了一種新型的交通方式.某機構為了調查人們對此種交通方式的滿意度，從交通擁堵不嚴重的城市和交通擁堵嚴重的城市分別隨機調查了20個用戶，得到了一個用戶滿意度評分的樣本，并繪制出莖葉圖如圖：

（Ⅰ）根據(jù)莖葉圖，比較兩城市滿意度評分的平均值的大小及方差的大小（不要求具體解答過程，給出結論即可）；

（Ⅱ）若得分不低于80分，則認為該用戶對此種交通方式“認可”，否則認為該用戶對此種交通方式“不認同”，請根據(jù)此樣本完成此列聯(lián)表，并局此樣本分析是否有95%的把握認為城市擁堵與認可共享單車有關；

（Ⅲ）若此樣本中的城市和城市各抽取1人，則在此2人中恰有一人認可的條件下，此人來自城市的概率是多少？

合計

認可

不認可

合計

附：

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的兩個焦點是， ，且橢圓經(jīng)過點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若過橢圓的左焦點且斜率為1的直線與橢圓交于兩點，求線段的長.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某市英才中學的一個社會實踐調查小組，在對中學生的良好“光盤習慣”的調查中，隨機發(fā)放了120份問卷，對收回的120份有效問卷進行統(tǒng)計，得到如下列聯(lián)表：

做不到光盤

能做到光盤

合計

男

45

10

55

女

30

15

45

合計

75

25

100

(1)現(xiàn)已按是否能做到光盤分層從45份女生問卷中抽取9份問卷，若從這9份問卷中隨機抽取4份，并記其中能做到光盤的問卷的份數(shù)為，試求隨機變量的分布列和數(shù)學期望；

(2)如果認為良好“光盤習慣”與性別有關犯錯誤的概率不超過，那么根據(jù)臨界值表最精確的的值應為多少？請說明理由.

附：獨立性檢驗統(tǒng)計量，其中.

獨立性檢驗臨界表：

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知點為橢圓的左焦點，且兩焦點與短軸的一個頂點構成一個等邊三角形，直線與橢圓有且僅有一個交點.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設直線與軸交于，過點的直線與橢圓交于兩不同點， ，若，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在測試中，客觀題難度的計算公式為，其中為第題的難度， 為答對該題的人數(shù)， 為參加測試的總人數(shù)．現(xiàn)對某校高三年級120名學生進行一次測試，共5道客觀題．測試前根據(jù)對學生的了解，預估了每道題的難度，如下表所示：

題號

1

2

3

4

5

考前預估難度

0.9

0.8

0.7

0.6

0.4

測試后，從中隨機抽取了10名學生，將他們編號后統(tǒng)計各題的作答情況，如下表所示（“√”表示答對，“×”表示答錯）：

學生編號 題號

1

2

3

4

5

1

×

√

√

√

√

2

√

√

√

√

×

3

√

√

√

√

×

4

√

√

√

×

×

5

√

√

√

√

√

6

√

×

×

√

×

7

×

√

√

√

×

8

√

×

×

×

×

9

√

√

×

×

×

10

√

√

√

√

×

（Ⅰ）根據(jù)題中數(shù)據(jù)，將抽樣的10名學生每道題實測的答對人數(shù)及相應的實測難度填入下表，并估計這120名學生中第5題的實測答對人數(shù)；

題號

1

2

3

4

5

實測答對人數(shù)

實測難度

（Ⅱ）從編號為1到5的5人中隨機抽取2人，求恰好有1人答對第5題的概率；

（Ⅲ）定義統(tǒng)計量，其中為第題的實測難度， 為第題的預估難度．規(guī)定：若，則稱該次測試的難度預估合理，否則為不合理．判斷本次測試的難度預估是否合理.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， .

（Ⅰ）當時，求不等式的解集；

（Ⅱ）若， 恒成立，求的取值范圍.

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