【題目】已知直角梯形中,是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,.沿將折起,使至處,且;然后再將沿折起,使至處,且面面,和在面的同側(cè).
(Ⅰ) 求證:平面;
(Ⅱ) 求平面與平面所構(gòu)成的銳二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ) 詳見(jiàn)解析;(Ⅱ ) 平面與平面所構(gòu)成的銳二面角的余弦值為.
【解析】
試題分析:(Ⅰ) 在直角梯形ABCD中,由平面幾何知識(shí),又,可證得平面;(Ⅱ ) 建立空間直角坐標(biāo)系,利用法向量可求出二面角的余弦值.
試題解析:(Ⅰ)證明:在直角梯形ABCD中,可算得
根據(jù)勾股定理可得,即:,又,平面;
(Ⅱ) 以C為原點(diǎn),CE為y軸,CB為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,則,,,,作,因?yàn)槊?/span>面,易知,,且,
從平面圖形中可知:,易知面CDE的法向量為
設(shè)面PAD的法向量為,且.
解得
故所求平面與平面所構(gòu)成的銳二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2017年五一假期期間,高速公路車(chē)輛較多。某調(diào)査公司在一服務(wù)區(qū)從七座以下小型汽車(chē)中按進(jìn)服務(wù)區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進(jìn)行詢(xún)問(wèn)調(diào) 査,將他們?cè)谀扯胃咚俟返能?chē)速分成六段: 后得到如圖的頻率分布直方圖.
(Ⅰ)求這40輛小型車(chē)輛車(chē)速的眾數(shù)和中位數(shù)以及平均數(shù)的估計(jì)值.
(Ⅱ)若從車(chē)速在的車(chē)輛中任抽取2輛,求車(chē)速在的車(chē)輛恰有一輛的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某高中在校學(xué)生2 000人,高一年級(jí)與高二年級(jí)人數(shù)相同并且都比高三年級(jí)多1人.為了響應(yīng)市教育局“陽(yáng)光體育”號(hào)召,該校開(kāi)展了跑步和跳繩兩項(xiàng)比賽,要求每人都參加而且只參加其中一項(xiàng),各年級(jí)參與項(xiàng)目人數(shù)情況如下表:
年級(jí) 項(xiàng)目 | 高一年級(jí) | 高二年級(jí) | 高三年級(jí) |
跑步 | a | b | c |
跳繩 | x | y | z |
其中a∶b∶c=2∶3∶5,全校參與跳繩的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的. 為了了解學(xué)生對(duì)本次活動(dòng)的滿(mǎn)意度,采用分層抽樣從中抽取一個(gè)200人的樣本進(jìn)行調(diào)查,則高二年級(jí)中參與跑步的同學(xué)應(yīng)抽取多少人?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,曲線(xiàn)的參數(shù)方程為(為參數(shù)),在以原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.
(1)求的普通方程和的傾斜角;
(2)設(shè)點(diǎn), 和交于兩點(diǎn),求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知四棱錐的底面為矩形,D為的中點(diǎn),AC⊥平面BCC1B1.
(Ⅰ)證明:AB//平面CDB1;
(Ⅱ)若AC=BC=1,BB1=,
(1)求BD的長(zhǎng);
(2)求B1D與平面ABB1所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知定義域?yàn)?/span>的函數(shù)是奇函數(shù).
(1)求的值;
(2)證明: 為上的增函數(shù);
(3)若對(duì)任意的,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程是,以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,直線(xiàn)的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(Ⅰ)寫(xiě)出直線(xiàn)的普通方程與曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)設(shè)曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)伸縮變換得到曲線(xiàn),若點(diǎn),直線(xiàn)與交與, ,求, .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)().
(Ⅰ)若曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與軸垂直,求的值;
(Ⅱ)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),求的取值范圍;
(Ⅲ)證明:當(dāng)時(shí), .
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【題目】海州市六一兒童節(jié)期間在婦女兒童活動(dòng)中心舉行小學(xué)生“海州杯”圍棋比賽,規(guī)則如下:甲、乙兩名選手比賽時(shí),每局勝者得1分,負(fù)者得0分,比賽進(jìn)行到有一人比對(duì)方多2分或賽滿(mǎn)6局時(shí)比賽結(jié)束.設(shè)某校選手甲與另一選手乙比賽時(shí),甲每局獲勝的概率皆為,且各局比賽勝負(fù)互不影響,已知第二局比賽結(jié)束時(shí)比賽停止的概率為.
(1)求的值;
(2)設(shè)表示比賽停止時(shí)已比賽的局?jǐn)?shù),求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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