Question

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的上頂點為A，P（

4

3

，

b

3

）是C上的一點，以AP為直徑的圓經(jīng)過橢圓C的右焦點F
（1）求橢圓C的方程；
（2）動直線l與橢圓C有且只有一個公共點，問：在x軸上是否存在兩個定點，它們到直線l的距離之積等于1？如果存在，求出這兩個定點的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題設(shè)可得c²-

4

3

c+

b2

3

=0①，又點P在橢圓C上，可得

16

9a2

+

b2

9b2

=1⇒a²=2②，又b²+c²=a²=2③，①③聯(lián)立解得c，b²，即可得解．
（2）設(shè)動直線l的方程為y=kx+m，代入橢圓方程消去y，整理得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0（﹡），由△=0，得m²=2k²+1，假設(shè)存在M₁（λ₁，0），M₂（λ₂，0）滿足題設(shè)，則由d1•d2=

|(λ1k+m)(λ2k+m)|

k2+1

=|

(λ1λ2+2)k2+(λ1+λ2)km+1

k2+1

|=1對任意的實數(shù)k恒成立．由

λ1λ2+2=1 λ1+λ2=0

 即可求出這兩個定點的坐標(biāo)．

解答： 解：（1）F（c，0），A（0，b），由題設(shè)可知

FA

•

FP

=0，得
c²-

4

3

c+

b2

3

=0①…（1分）
又點P在橢圓C上，∴

16

9a2

+

b2

9b2

=1⇒a²=2②
b²+c²=a²=2③…（3分）
①③聯(lián)立解得，c=1，b²=1…（5分）
故所求橢圓的方程為

x2

2

+y²=1…（6分）
（2）設(shè)動直線l的方程為y=kx+m，代入橢圓方程，消去y，整理，
得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0（﹡）
方程（﹡）有且只有一個實根，又2k²+1＞0，
所以△=0，得m²=2k²+1…（8分）
假設(shè)存在M₁（λ₁，0），M₂（λ₂，0）滿足題設(shè)，則由d1•d2=

|(λ1k+m)(λ2k+m)|

k2+1

=|

(λ1λ2+2)k2+(λ1+λ2)km+1

k2+1

|=1對任意的實數(shù)k恒成立．
所以，

λ1λ2+2=1 λ1+λ2=0

  解得，

λ1=1 λ2=-1

或

λ1=-1 λ2=1

，
所以，存在兩個定點M₁（1，0），M₂（-1，0），它們恰好是橢圓的兩個焦點．…（13分）

點評：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的解法，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，綜合性較強，屬于中檔題．