Question

若?x＞-1，不等式

x2

x+1

≥a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由原不等式得a≤

x2

x+1

，根據(jù)題意a小于等于函數(shù)

x2

x+1

的最小值即可．所以可設(shè)f（x）=

x2

x+1

，用導(dǎo)數(shù)的方法求該函數(shù)在（-1，+∞）的最小值：取f′（x），令f′（x）=0，便得到x∈（-1，0）時(shí)，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，從而得到f（x）的最小值f（0）=0，所以a≤0．

解答： 解：設(shè)f（x）=

x2

x+1

，f′（x）=

x2+2x

(x+1)2

；
令x²+2x=0，x=-2，或0；
∴x∈（-1，0）時(shí)，f′（x）＜0，x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；
∴x=0時(shí)，f（x）取極小值，也是最小值0；
∴a≤0；
∴a的取值范圍是（-∞，0]．
故答案為：（-∞，0]．

點(diǎn)評(píng)：考查用導(dǎo)數(shù)的方法求函數(shù)最小值的過(guò)程，以及極值的概念，要對(duì)函數(shù)正確求導(dǎo)．