Question

已知拋物線C:, 過拋物線C上點(diǎn)M且與M處的切線垂直的直線稱為拋物線C在點(diǎn)M的法線。
⑴若拋物線C在點(diǎn)M的法線的斜率為 ，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
⑵設(shè)P為C對稱軸上的一點(diǎn)，在C上是否存在點(diǎn)，使得C在該點(diǎn)的法線通過點(diǎn)P。若有，求出這些點(diǎn)，以及C在這些點(diǎn)的法線方程；若沒有，請說明理由。

Answer 1

（1）（，）
（2）略

解：
⑴函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，點(diǎn)處切線的斜率k0=
.∵過點(diǎn)的法線斜率為，∴（）=，解得，。
故點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）。
⑵設(shè)M為C上一點(diǎn)，
若，則C上點(diǎn)M處的切線斜率k=0,
過點(diǎn)M的法線方程為，次法線過點(diǎn)P;
若，則過點(diǎn)M的法線方程為：。
若法線過點(diǎn)P，則，即。
若，則，從而，
代入得，。
若，與矛盾，若，則無解。
綜上，當(dāng)時，在C上有三點(diǎn)（，），（，）及，
在該點(diǎn)的法線通過點(diǎn)P，
法線方程分別為，，。
當(dāng)時，在C上有一點(diǎn)，在該點(diǎn)的法線通過點(diǎn)P，法線方程為。