【題目】如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).
(1)求證:AC⊥BC1;
(2)求證:AC1∥平面CDB1;
(3)求異面直線AC1與B1C所成角的余弦值.
【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3) .
【解析】試題分析:(1)由勾股定理計(jì)算得AC⊥BC,再由直棱柱性質(zhì)得C1C⊥AC,最后根據(jù)線面垂直判定定理得AC⊥平面BCC1B1,即得AC⊥BC1.(2)設(shè)CB1與C1B的交點(diǎn)為E,由三角形中位線性質(zhì)得DE∥AC1,再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)論(3)因?yàn)?/span>DE∥AC1,所以∠CED為AC1與B1C所成的角.再根據(jù)解三角形得所成角的余弦值.
試題解析:(1)證明:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面三邊長(zhǎng)AC=3,BC=4,AB=5,∴AC⊥BC.
又∵C1C⊥AC.∴AC⊥平面BCC1B1.
∵BC1平面BCC1B,∴AC⊥BC1.
(2)證明:設(shè)CB1與C1B的交點(diǎn)為E,連接DE,又四邊形BCC1B1為正方形.
∵D是AB的中點(diǎn),E是BC1的中點(diǎn),∴DE∥AC1.
∵DE平面CDB1,AC1平面CDB1,
∴AC1∥平面CDB1.
(3)∵DE∥AC1,
∴∠CED為AC1與B1C所成的角.在△CED中,ED=AC1=,
CD=AB=,CE=CB1=2,∴cos∠CED==.
∴異面直線AC1與B1C所成角的余弦值為.
點(diǎn)睛:垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見(jiàn)類(lèi)型.
(1)證明線面、面面平行,需轉(zhuǎn)化為證明線線平行.
(2)證明線面垂直,需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直.
(3)證明線線垂直,需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四面體P﹣ABCD中,△ABD是邊長(zhǎng)為2的正三角形,PC⊥底面ABCD,AB⊥BP,BC= .
(1)求證:PA⊥BD;
(2)已知E是PA上一點(diǎn),且BE∥平面PCD.若PC=2,求點(diǎn)E到平面ABCD的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)于空間兩不同的直線,兩不同的平面,有下列推理:
(1), (2),(3)
(4), (5)
其中推理正確的序號(hào)為( )
A. (1)(3)(4) B. (2)(3)(5) C. (4)(5) D. (2)(3)(4)(5)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐中,平面平面, 為等邊三角形, 且, 分別為的中點(diǎn).
(1)求證: 平面.
(2)求證:平面平面.
(3)求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知△BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,E、F分別是AC、AD上的動(dòng)點(diǎn),且
(1)求證:不論為何值,總有平面BEF⊥平面ABC;
(2)當(dāng)λ為何值時(shí),平面BEF⊥平面ACD ?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知, .
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在上的最大值;
(2)對(duì)任意的,都有成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如果函數(shù)在定義域內(nèi)存在區(qū)間,使得該函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?/span>,則稱(chēng)函數(shù)是該定義域上的“和諧函數(shù)”.
(1)求證:函數(shù)是“和諧函數(shù)”;
(2)若函數(shù)是“和諧函數(shù)”,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2 ,E,F(xiàn)分別是AD,PC的中點(diǎn).
(1)證明:PC⊥平面BEF;
(2)求平面BEF與平面BAP所成的銳二面角的余弦值.
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