Question

已知B（-3，0），C（3，0），△ABC中BC邊上的高為3，求△ABC的垂心H的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：分類討論,直線與圓

分析：設(shè)出點(diǎn)H的坐標(biāo)為（x，y），得A點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，3）或（x，-3）；討論A的坐標(biāo)為（x，3）時，由AB⊥CH，k_AB•k_CH=-1，求出H點(diǎn)的軌跡方程；同理A的坐標(biāo)為（x，-3）時，求出H點(diǎn)的軌跡方程．

解答： 解：設(shè)H的坐標(biāo)為（x，y），則A點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，3）或（x，-3）；
當(dāng)A的坐標(biāo)為（x，3）時，
∵AB⊥CH，∴k_AB•k_CH=-1，
即

3-0

x-(-3)

•

y-0

x-3

=-1（x≠±3），
化簡，得y=-

1

3

x²+3（x≠±3）；
當(dāng)x=±3時，y=0，也適合此方程，
∴方程y=-

1

3

x²+3是所求的軌跡方程；
當(dāng)A的坐標(biāo)為（x，-3）時，同理可得H點(diǎn)的軌跡方程為y=

1

3

x²-3；
綜上，△ABC的垂心H的軌跡方程是y=-

1

3

x²+3或y=

1

3

x²-3．

點(diǎn)評：本題考查了求點(diǎn)的軌跡方程的問題，解題時應(yīng)分類討論，以便求出點(diǎn)的軌跡方程，是中檔題．