Question

設(shè)[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如[π]=3，[-2.3]=-3．給出下列命題：
①對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有x-1＜[x]≤x；
②對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，都有[x+y]≤[x]+[y]；
③[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg100]=90；
④若函數(shù)f（x）=[x•[x]]，當(dāng)x∈[0，n）（n∈N^*）時(shí)，令f（x）的值域?yàn)锳，記集合A的元素個(gè)數(shù)為a_n，則

an+49

n

的最小值為

19

2

．
其中所有真命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專(zhuān)題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：直接利用定義判斷①的正誤，反例判斷②的正誤；利用對(duì)數(shù)值以及新定義求解判斷③的正誤；先由題意先求[x]，再求x[x]，然后再求[x[x]]，得到a_n，進(jìn)而得到

an+49

n

，用基本不等式求解．判斷④的正誤；

解答： 解：對(duì)于①，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有x-1＜[x]≤x，滿(mǎn)足新定義，∴①正確．
對(duì)于②，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，例如x=-0.1，y=-0.1，[x+y]=-1，[x]+[y]=-2；都有[x+y]≤[x]+[y]；不正確，∴②錯(cuò)誤．
對(duì)于③，[lg1]+[lg2]+[lg3]+[lg4]+…+[lg100]
=[lg1]+…+[lg9]+[lg10]+…+[lg99]+[lg100]
=0+1×90+2=92，∴③不正確．
對(duì)于④，根據(jù)題意：[x]=

0，x∈[0，1) 1，x∈[1，2) … n-1，x∈[n-1，n)

∴x[x]=

0，x∈[0，1) x，x∈[1，2) … (n-1)x，x∈[n-1，n)

∴[x[x]]在各區(qū)間中的元素個(gè)數(shù)是：1，1，2，3，…，n
∴a_n=

n(n-1)

2

+1
∴

an+49

n

=

1

2

n+

50

n

-

1

2

，所以當(dāng)n=10時(shí)，最小值為

19

2

．
∴④正確．
故答案為：①④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假的判斷，反例法以及新定義的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵，通過(guò)取整函數(shù)來(lái)建立新函數(shù)，進(jìn)而研究其定義域和值域．