Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+1（a≠0）對于任意x∈R都有f（1+x）=f（1-x），且函數(shù)y=f（x）+2x為偶函數(shù)；函數(shù)g（x）=1-2^x．
（I） 求函數(shù)f（x）的表達式；
（II） 求證：方程f（x）+g（x）=0在區(qū)間[0，1]上有唯一實數(shù)根；
（III） 若有f（m）=g（n），求實數(shù)n的取值范圍．

Answer 1

（I）解：∵對于任意x∈R都有f（1+x）=f（1-x），
∴函數(shù)f（x）的對稱軸為x=1，得b=-2a．
又函數(shù)y=f（x）+2x=ax²+（b+2）x+1為偶函數(shù)，∴b=-2，從而可得a=1．
∴f（x）=x²-2x+1=（x-1）²．
（II）證明：設h（x）=f（x）+g（x）=（x-1）²+1-2^x，
∵h（0）=2-2⁰=1＞0，h（1）=-1＜0，∴h（0）h（1）＜0．
所以函數(shù)h（x）在區(qū)間[0，1]內(nèi)必有零點，
又∵（x-1）²，-2^x在區(qū)間[0，1]上均單調(diào)遞減，
所以h（x）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞減，
∴h（x）在區(qū)間[0，1]上存在唯一零點．
故方程f（x）+g（x）=0在區(qū)間[0，1]上有唯一實數(shù)根．
（III）解：由題可知∴f（x）=（x-1）²≥0．g（x）=1-2^x＜1，
若有f（m）=g（n），則g（n）∈[0，1），
則1-2ⁿ≥0，解得 n≤0．
故n的取值范圍是n≤0．
分析：（I）根據(jù)對于任意x∈R都有f（1+x）=f（1-x）可知對稱軸為x=1，由此得a，b的方程，再由y=f（x）+2x為偶函數(shù)可求得b值，從而求得a值；
（II）設h（x）=f（x）+g（x），方程f（x）+g（x）=0在區(qū)間[0，1]上有唯一實數(shù)根轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)h（x）在[0，1]上有唯一零點，根據(jù)零點存在定理判定其存在性，利用單調(diào)性判定其唯一性；
（III）求出f（x），g（x）的值域及其交集，據(jù)f（m）=g（n）知g（n）屬于該交集；
點評：本題考查根的存在性及根的個數(shù)判斷，考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，考查學生對問題的理解能力及轉(zhuǎn)化能力，零點存在定理及二次函數(shù)的有關性質(zhì)是解決問題的基礎．