Question

【題目】已知,,點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為.

（1）求軌跡的方程；

（2）若直線過點(diǎn)且與軌跡交于、兩點(diǎn).

（i）無論直線繞點(diǎn)怎樣轉(zhuǎn)動，在軸上總存在定點(diǎn)，使恒成立，求實(shí)數(shù)的值.

（ii）在（i）的條件下，求面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）（i）（ii）9

【解析】

（1）利用雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程即可得出；（2）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y=k（x-2），P，Q，與雙曲線方程聯(lián)立消y得，利用根與系數(shù)的關(guān)系、判別式解出即可得出．（i）利用向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、根與系數(shù)的關(guān)系即可得出；（ii）利用點(diǎn)到直線的距離公式、弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形的面積計(jì)算公式即可得出

（1）由知，點(diǎn)P的軌跡E是以F1、F2為焦點(diǎn)的雙曲線右支，由，故軌跡E的方程為

（2）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，與雙曲線方程聯(lián)立消y得，

解得k2 >3

（i）

，

故得對任意的恒成立，

∴當(dāng)m =－1時(shí)，MP⊥MQ.

當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，由知結(jié)論也成立，

綜上，當(dāng)m =－1時(shí)，MP⊥MQ.

（ii）由（i）知，，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，

， M點(diǎn)到直線PQ的距離為，則

∴

令，則，因?yàn)?/span>

所以

當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，

綜上可知，故的最小值為9.