Question

已知函數f（x）=ax²+bx的圖象過點（-n，0），且在（0，f（0））處的切線的斜率為n，（n為正整數）
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）若數列{a_n}滿足：a1=

1

2

，

1

an+1

=f′(

1

an

)，令bn=

1

an

+n+1，求數列{b_n}的通項公式；
（III）對于（Ⅱ）中的數列{a_n}，令cn=

n

an

+n2，求數列{c_n}的前n項的和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將點（-n，0）的坐標代入函數f（x）=ax²+bx中，然后令f′（0）=n，便可求出函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）由前面求得的函數f（x）的解析式求出a_n與a_n+1的關系，然后便可求出b_n與b_n+1的關系，即可求得b_n的通項公式；
（III）由（Ⅱ）求得的an的表達式先求出cb的通項公式，然后即可求得數列{c_n}的前n項的和S_n．

解答：解：（I）由已知f（-n）=a（-n）²+b（-n）=0，
f′（0）=b=n
解得a=1，b=n，
所以f（x）=x²+nx（3分）；
（Ⅱ）由

1

an+1

=f′(

1

an

)可得

1

an+1

=2

1

an

+n，（4分）

1

an+1

+(n+2)=2(

1

an

+n+1)，
即b_n+1=2b_n
所以數列{b_n}是首項為

1

a1

+1+1=4，公比q=2的等比數列，（6分）
∴b_n=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹（8分）；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知C_n=n•2ⁿ⁺¹-n（9分）
∵S_n=1•2²+2•2³+…+n•2ⁿ⁺¹-（1+2+3+…+n）
2S_n=1•2³+2•2⁴+…+（n-1）•2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺²-2（1+2+3+…+n）（10分）
∴-S_n=（2²+2³+…+2ⁿ⁺¹）-n•2ⁿ⁺²+（1+2+3+…+n）
=

22(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺²+

n(n+1)

2

，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺²+4-

n(n+1)

2

（12分）

點評：本題主要考查了數列的遞推公式和數列的求和以及數列與函數的綜合應用，考查了學生的計算能力和對數列的綜合掌握，解題時注意整體思想和轉化思想的運用，屬于中檔題．