Question

【題目】已知函數(shù)， ．

（I）求的單調(diào)區(qū)間；

（II）若對任意的，都有，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析;(2) .

【解析】試題分析：對函數(shù)求導(dǎo)，針對參數(shù)進行討論，研究函數(shù)得單調(diào)性；第二步為恒成立問題，當(dāng)時，由于不滿足題意要求，當(dāng) 時，求出函數(shù) 的最大值，要使在上恒成立，只需 ，從而求出 的范圍.

試題解析：（I）， 當(dāng)時， 恒成立，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，則．則在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．

（II）方法1：

當(dāng)時，因為，

所以不會有， ．

②當(dāng)時，由（I）知， 在上的最大值為．

所以， 等價于．即．

設(shè)，由（I）知在上單調(diào)遞增．

又，所以的解為．

故， 時，實數(shù)的取值范圍是．

方法2： ， 等價于.令，則．

令，則．

因為當(dāng)， 恒成立，

所以在上單調(diào)遞減．

又，可得和在上的情況如下：

	+	0	-
	單調(diào)遞增		單調(diào)遞減

所以在上的最大值為．

因此， 等價于．

故， 時，實數(shù)的取值范圍是．