Question

（1）用單調(diào)性定義證明函數(shù)f（x）=x+

1

x

在區(qū)間（0，1）上是減函數(shù)；
（2）已知函數(shù)f（x）=ax²+

1

3

x+4．（a∈R）在區(qū)間[-2，+∞）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：解：（1）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義進(jìn)行證明；
（2）分情況進(jìn)行討論

解答： 證明：（1）任取x₁，x₂∈（0，1），則：f(x1)-f(x2)=(x1+

1

x1

)-(x2+

1

x2

)=(x1-x2)+(

1

x1

-

1

x2

)=(x1-x2)+(

x2-x1

x1x2

)=(x1-x2)(1-

1

x1x2

)=

(x1-x2)(x1x2-1)

x1x2

∵0＜x₁＜x₂＜1，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂-1＜0，x₁x₂＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
∴f(x)=x+

1

x

在區(qū)間（0，1）上是減函數(shù)．
（2）（2）①當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=

1

3

x+4．因?yàn)?span id="ljjhhbp" class="MathJye">

1

3

＞0，所以f(x)=

1

3

x+4在[-2，+∞）上是增函數(shù)．
②當(dāng)a＞0時(shí)，二元一次函數(shù)f(x)=ax2+

1

3

x+4的圖象是開口向上的拋物線，其對(duì)稱軸是x=-

1 3

2a

=-

1

6a

∵f（x）在[-2，+∞）上是增函數(shù)∴-

1

6a

≤-2，即a≤

1

12

∴0＜a≤

1

12

③當(dāng)a＜0時(shí)，二元一次函數(shù)f(x)=ax2+

1

3

x+4的圖象是開口向下的拋物線．顯然無法滿足在[-2，+∞）上是增函數(shù)．  即a∈∅
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是0≤a≤

1

12

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的定義和二次函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．