Question

已知函數(shù)f（x）=

x3

3

+

mx2+(m+n)x+1

2

的兩個極值點分別為x₁，x₂，且x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞），點P（m，n）表示的平面區(qū)域為D，若函數(shù)y=log_a（x+4）（a＞1）的圖象上存在區(qū)域D內(nèi)的點，則實數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A、（1，3]
• B、（1，3）
• C、（3，+∞）
• D、[3，+∞）

Answer 1

考點：簡單線性規(guī)劃,復(fù)合命題的真假

專題：數(shù)形結(jié)合,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，由原函數(shù)的兩個極值點分別在（0，1），（1，+∞）內(nèi)列式得到m，n的關(guān)系，作出可行域，由函數(shù)y=log_a（x+4）（a＞1）的圖象上存在區(qū)域D內(nèi)的點得到對數(shù)不等式，求解不等式得實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=

x3

3

+

mx2+(m+n)x+1

2

的兩個極值點分別為x₁，x₂，
且x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞），
∴y′=x2+mx+

m+n

2

=0的兩根x₁，x₂滿足0＜x₁＜1＜x₂，
則x₁+x₂=-m，x₁x₂=

m+n

2

＞0，
(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=

m+n

2

+m+1＜0，
即n+3m+2＜0，
∴-m＜n＜-3m-2，
作平面區(qū)域如圖：

∴m＜-1，n＞1．
∵y=log_a（x+4）（a＞1）的圖象上存在區(qū)域D內(nèi)的點，
∴l(xiāng)og_a（-1+4）＞1，即

lg3

lga

＞1，
∵a＞1，∴l(xiāng)ga＞0，
∴1g3＞lga．
解得1＜a＜3．
故選：B．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查了簡單的線性規(guī)劃，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．