Question

已知點(diǎn)F是拋物線C：y²=x的焦點(diǎn)，S是拋物線C在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且|SF|=．
（Ⅰ）求點(diǎn)S的坐標(biāo)；
（Ⅱ）以S為圓心的動(dòng)圓與x軸分別交于兩點(diǎn)A、B，延長SA、SB分別交拋物線C于M、N兩點(diǎn)；
①判斷直線MN的斜率是否為定值，并說明理由；
②延長NM交x軸于點(diǎn)E，若|EM|=|NE|，求cos∠MSN的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)S（x，y）（y＞0），由已知得F，則|SF|=，由此能求出點(diǎn)S的坐標(biāo)．
（Ⅱ）①設(shè)直線SA的方程為y-1=k（x-1）（k≠0），M（x₁，y₁），由，得ky²-y+1-k=0，所以．由已知SA=SB，知直線SB的斜率為-k，由此能導(dǎo)出直線MN的斜率為定值-．
②設(shè)E（t，0），由|EM|=|NE|，知k=2．所以直線SA的方程為y=2x-1，則，同理．由此能求出cos∠MSN的值．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)S（x，y）（y＞0），由已知得F，則|SF|=，
∴y=1，∴點(diǎn)S的坐標(biāo)是（1，1）------------------------（2分）
（Ⅱ）①設(shè)直線SA的方程為y-1=k（x-1）（k≠0），M（x₁，y₁），
由得ky²-y+1-k=0，
∴，∴．
由已知SA=SB，∴直線SB的斜率為-k，∴，
∴--------------（7分）
②設(shè)E（t，0），∵|EM|=|NE|，∴，
∴，，則，∴k=2----------------（8分）
∴直線SA的方程為y=2x-1，則，同理
∴---------------------------（12分）
點(diǎn)評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與圓錐曲線的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．