Question

（本小題滿分12分）已知點(diǎn)F是拋物線C：的焦點(diǎn)，S是拋物線C在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且|SF|=. 

（Ⅰ）求點(diǎn)S的坐標(biāo)；

（Ⅱ）以S為圓心的動(dòng)圓與軸分別交于兩點(diǎn)A、B，延長(zhǎng)SA、SB分別交拋物線C于M、N兩點(diǎn)；

①判斷直線MN的斜率是否為定值，并說(shuō)明理由；

②延長(zhǎng)NM交軸于點(diǎn)E，若|EM|=|NE|，求cos∠MSN的值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）(1,1)（Ⅱ）①②

【解析】

試題分析：解：（1）設(shè)(＞0)，由已知得F，則|SF|=，

∴=1，∴點(diǎn)S的坐標(biāo)是(1,1)------------------------2分

（2）①設(shè)直線SA的方程為

由得

∴，∴。

由已知SA=SB，∴直線SB的斜率為，∴，

∴--------------7分

②設(shè)E(t,0)，∵|EM|=|NE|，∴，

∴ ，則∴--------------------------8分

∴直線SA的方程為，則，同理 

∴---------------------------12分

考點(diǎn)：拋物線的性質(zhì)；直線的斜率公式；向量的坐標(biāo)運(yùn)算；余弦定理。

點(diǎn)評(píng)：本題第一小題用了拋物線的性質(zhì)，這樣使問(wèn)題簡(jiǎn)化，當(dāng)然，也可以由兩點(diǎn)距離公式來(lái)求。第二小題關(guān)鍵要從題意找出直線SA與SB的關(guān)系。