Question

【題目】已知橢圓的離心率為，且橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最長(zhǎng)距離為．

（1）求橢圓C的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)P（0，2）的直線(xiàn)l（不過(guò)原點(diǎn)O）與橢圓C交于兩點(diǎn)A、B，M為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)．

（ⅰ）證明：直線(xiàn)OM與l的斜率乘積為定值；

（ⅱ）求△OAB面積的最大值及此時(shí)l的斜率．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（�。┰斠�(jiàn)解析；（ⅱ）△AOB面積的最大值是，此時(shí)l的斜率為±.

【解析】

（1）由題意得，解得即可求出方程，

（2）（i）設(shè)直線(xiàn)l為：y=kx+2，根據(jù)韋達(dá)定理和斜率公式即可求出，

（ii）先根據(jù)弦長(zhǎng)公式求出|AB|及原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，再令=t，表示出三角形的面積，利用基本不等式即可求出．

解：（1）由題意得，解得，

∴a2=2，b2=a2-c2=1，

∴橢圓C的方程為；

（2）（�。┰O(shè)直線(xiàn)l為：y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），

由題意得，∴（1+2k2）x2+8kx+6=0，

∴△=8（2k2-3）＞0，即，

由韋達(dá)定理得：x1+x2=-，x1x2=，

∴，，

∴，∴，

∴直線(xiàn)OM與l的斜率乘積為定值．

（ⅱ）由（�。┛芍�： ，

原點(diǎn)到直線(xiàn)AB的距離為

令=t，則t＞0，

∴S△AOB==≤=，

當(dāng)且僅當(dāng)t=2時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)k=±，且滿(mǎn)足△＞0，

∴△AOB面積的最大值是，此時(shí)l的斜率為±．