Question

【題目】如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1，設AB1的中點為D，B1C∩BC1＝E.

求證：(1)DE∥平面AA1C1C；

(2)BC1⊥AB1.

Answer 1

【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析.

【解析】

試題分析:(1) 由題意知，E為B1C的中點，又D為AB1的中點，因此DE∥AC,根據(jù)線面平行的判定定理得證;(2)由CC1⊥平面ABC,可得AC⊥CC1，又因為AC⊥BC，由線面垂直的判定定理可得AC⊥平面BCC1B1，進而可得B1C⊥AC,又BC1⊥B1C,證得BC1⊥平面B1AC,故命題成立.

試題解析:

(1)由題意知，E為B1C的中點，

又D為AB1的中點，因此DE∥AC.

又因為DE平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，

所以DE∥平面AA1C1C.

(2)因為棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，

所以CC1⊥平面ABC.

因為AC平面ABC，所以AC⊥CC1.

又因為AC⊥BC，CC1平面BCC1B1，

BC平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，

所以AC⊥平面BCC1B1，

又因為BC1平面BCC1B1，所以B1C⊥AC.

因為BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.

因為AC，B1C平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.

又因為AB1平面B1AC，所以BC1⊥AB1.