Question

若實數(shù)a、b、c、d滿足，則（a-c）²+（b-d）²的最小值為    ．

Answer 1

【答案】分析：由==1可知點P（a，b）是曲線y=x²-2lnx上的點，Q（c，d）是直線y=3x-4上的點，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，過曲線y=x²-2lnx上的點P（a，b）且與線y=3x-4平行時，|PQ|²=（a-c）²+（b-d）²有最小值．
解答：解：∵==1，
∴點P（a，b）是曲線f（x）=x²-2lnx（x＞0）上的點，Q（c，d）是直線y=3x-4上的點，
∴|PQ|²=（a-c）²+（b-d）²．
要使|PQ|²最小，當(dāng)且僅當(dāng)過曲線y=x²-2lnx上的點P（a，b）且與線y=3x-4平行時．
∵f′（x）=2x-=（x＞0），
由f′（x）＞0得，x＞1；由f′（x）＜0得0＜x＜1．
∴當(dāng)x=1時，f（x）取得極小值，為1．
作圖如下：


∵f′（x）|_x=a=2a-，直線y=3x-4的斜率k=3，
∴2a-=3，
∴a=2或a=-（由于a＞0，故舍去）．
∴b=2²-2ln2=4-2ln2．
設(shè)點P（2，4-2ln2）到直線y=3x-4的距離為d，則d²==．
∵|PQ|²≥d²=，
∴（a-c）²+（b-d）²的最小值為．
故答案為：．
點評：本題考查函數(shù)最值的應(yīng)用，分析得到點P（a，b）是曲線y=x²-2lnx上的點，Q（c，d）是直線y=3x-4上的點，|PQ|²=（a-c）²+（b-d）²是關(guān)鍵，也是難點，考查理解題意與等價轉(zhuǎn)化思想的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及點到直線間的距離，屬于難題．