Question

10．如圖，已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1的兩個(gè)焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)M是橢圓上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)F₂作∠F₁MF₂的外角平分線的垂線交F₁M的延長線于點(diǎn)P．
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）斜率為1的直線l交軌跡C于不同的兩點(diǎn)A，B，若原點(diǎn)O在以線段AB為直徑的圓外，求直線l的縱截距的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用外角平分線作垂線的幾何特征得出|PM|+|MF₁|=4，從而求得P的軌跡方程；
（2）直線l：y=x+t，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則原點(diǎn)O在以線段AB為直徑的圓外，等價(jià)于x₁x₂+y₁y₂＜0，將直線與圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，可建立不等式，從而可求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答 解：（1）由題意，|PM|=|MF₂|，|MF₁|+|MF₂|=4，
所以|PM|+|MF₁|=4，
所以|PF₁|=4，
所以點(diǎn)P的軌跡方程是（x+1）²+y²=16；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則原點(diǎn)O在以線段AB為直徑的圓外，等價(jià)于∠AOB＜$\frac{π}{2}$（A，O，B三點(diǎn)不共線），即x₁x₂+y₁y₂＜0…①…
設(shè)直線l：y=x+t代入（x+1）²+y²=16，得2x²+（2+2t）x+t²-15=0，所以△=（2+2t）²-8（t²-15）＞0，即t＜1-$\sqrt{2}$或t＞1+$\sqrt{2}$…②
且x₁+x₂=-1-t，x₁x₂=$\frac{{t}^{2}-15}{2}$
于是y₁y₂=$\frac{{t}^{2}-2t-15}{2}$
代入①式得，t²-t-15＜0，即$\frac{1-\sqrt{61}}{2}$＜t＜$\frac{1+\sqrt{61}}{2}$．
所以$\frac{1-\sqrt{61}}{2}$＜t＜$\frac{1+\sqrt{61}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓方程的定義與幾何性質(zhì)的綜合應(yīng)用問題，也考查了一定的推理與計(jì)算能力，是綜合題，也是較難的題目．