Question

13．如圖，橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{3}{5}$，左焦點(diǎn)為F，A，B，C為其三個(gè)頂點(diǎn)，直線CF與AB交于點(diǎn)D，若△ADC的面積為15．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）是否存在分別以AD，AC為弦的兩個(gè)相外切的等圓？若存在，求出這兩個(gè)圓的圓心坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的性質(zhì)離心率和焦點(diǎn)頂點(diǎn)等求得橢圓方程．
（Ⅱ）當(dāng)圓M和圓N是兩個(gè)相外切的等圓時(shí)，一定有A，M，N在一條直線上，且AM=AN．則M、N關(guān)于點(diǎn)A對稱，設(shè)M（x₁，y₁），則N（-x₁，8-y₁），點(diǎn)M在線段AD的垂直平分線y-$\frac{5}{2}$=-$\frac{5}{4}$（x+$\frac{15}{8}$）上，可求得x₁=-$\frac{251}{40}$，繼而求得坐標(biāo)．

解答 （Ⅰ）解：設(shè)左焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-c，0），其中c=$\sqrt{{a^2}-{b^2}}$，
∵e=$\frac{c}{a}=\frac{3}{5}$，∴a=$\frac{5}{3}$c，b=$\frac{4}{3}$c…（1分）
∴A（0，$\frac{4}{3}$c），B（-$\frac{5}{3}$c，0），C（0，-$\frac{4}{3}$c），…（2分）
∴AB：$-\frac{3x}{5c}+\frac{3y}{4c}=1$，CF：$-\frac{x}{c}-\frac{3y}{4c}=1$，…（3分）
聯(lián)立解得D點(diǎn)的坐標(biāo)為（-$\frac{5}{4}$c，$\frac{1}{3}$c）…（4分）
∵△ADC的面積為15，∴$\frac{1}{2}$|x_D|•|AC|=15，即$\frac{1}{2}$•$\frac{5}{4}$c•2•$\frac{4}{3}$c=15，
解得c=3，∴a=5，b=4，∴橢圓C的方程為$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，4），D點(diǎn)的坐標(biāo)為（-$\frac{15}{4}$，1）…（7分）
假設(shè)存在這樣的兩個(gè)圓M與圓N，其中AD是圓M的弦，AC是圓N的弦，
則點(diǎn)M在線段AD的垂直平分線上，點(diǎn)N在線段AC的垂直平分線y=0上…（8分）
當(dāng)圓M和圓N是兩個(gè)相外切的等圓時(shí)，一定有A，M，N在一條直線上，且AM=AN．
∴M、N關(guān)于點(diǎn)A對稱，設(shè)M（x₁，y₁），則N（-x₁，8-y₁），…（9分）
根據(jù)點(diǎn)N在直線y=0上，∴y₁=8．∴M（x₁，8），N（-x₁，0），
而點(diǎn)M在線段AD的垂直平分線y-$\frac{5}{2}$=-$\frac{5}{4}$（x+$\frac{15}{8}$）上，可求得x₁=-$\frac{251}{40}$…（10分）
故存在這樣的兩個(gè)圓，且這兩個(gè)圓的圓心坐標(biāo)分別為
M（-$\frac{251}{40}$，8），N（$\frac{251}{40}$，0）…（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查利用橢圓的性質(zhì)求得橢圓方程和直線與圓錐曲線的綜合問題，屬于中檔題型，在高考中經(jīng)常考到．