Question

在平面直角坐標系中，點P到兩點F1(0，-

2

)，F2(0，

3

)的距離之和等于4，動點P的軌跡為曲線．
（1）求曲線C的方程；
（2）設直線y=kx+l與曲線C交于A，B兩點，當OA⊥OB時，（O為坐標原點），求k的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：向量與圓錐曲線

分析：（1）由題意可知動點P的軌跡為橢圓，并求得半焦距及長半軸，再由b²=a²-c²求得b，則曲線C的方程可求；
（2）聯立直線和橢圓，化為關于x的一元二次方程，利用根與系數關系得到A，B兩點的橫坐標的和與積，求出兩點縱坐標的積，再由OA⊥OB可得

OA

•

OB

=0．
代入根與系數的關系求得k值．

解答： 解：（1）設P（x，y），由橢圓定義可知，
點P的軌跡C是以F₁（0，-

3

），F₂（0，

3

）為焦點，長半軸為2的橢圓，
則它的短半軸b=

22-( 3 )2

=1，
∴曲線C的方程為x2+

y2

4

=1；
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯立

y=kx+1 x2+ y2 4 =1

，消去y并整理得（4+k²）x²+2kx-3=0，
故x1+x2=-

2k

4+k2

，x1x2=-

3

4+k2

．
y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1
=k2•(-

3

4+k2

)+k•(-

2k

4+k2

)+1=

4-4k2

4+k2

．
∵OA⊥OB，
∴

OA

•

OB

=0．
則x1x2+y1y2=-

3

4+k2

+

4-4k2

4+k2

=0，
解得：k=±

1

2

．

點評：本題考查了橢圓的定義，考查了直線與橢圓的位置關系的應用，直線與曲線聯立，根據方程的根與系數的關系解題，是處理這類問題的最為常用的方法，但圓錐曲線的特點是計算量比較大，要求考生具備較強的運算推理的能力，是壓軸題．