Question

數列{a_n}滿足a_n＞0，S_n=

m

2

（a_n+

1

an

），其中m=

∫

π 6 0

2cosxdx．
（1）求S₁，S₂，S₃，猜想S_n；
（2）請用數學歸納法證明之．

Answer 1

考點：數學歸納法

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（1）利用數列的賦值思想，由定積分得到m=1，則可以得到a_n＞0，S_n=

1

2

（a_n+

1

an

），借助于通項公式與前n項和關系求解前幾項的和．
（2）猜想得到通項公式．運用數學歸納法加以證明即可．

解答： 解：（1）易得：m=1．∵a_n＞0，∴S_n＞0，
由S₁=

1

2

（a₁+

1

a1

），變形整理得S₁²=1，取正根得S₁=1．
由S₂=

1

2

（a₂+

1

a2

），及a₂=S₂-S₁=S₁-1得S₂=

1

2

（S₂-1+

1

S2-1

），
變形整理得S₂²=2，取正根得S₂=

2

，
同理可求得S₃=

3

．由此猜想S_n=

n

．…（5分）
（2）用數學歸納法證明如下：
①當n=1時，上面已求出S₁=1，結論成立．…（7分）
②假設當n=k時，結論成立，即S_k=

k

．
則n=k+1時，S_k+1=

1

2

（a_k+1+

1

ak+1

）=

1

2

（S_k+1-S_k+

1

Sk+1-Sk

）=

1

2

（S_k+1-

k

+

1

Sk+1- k

）．
整理得S_k+1²=k+1，取正根得S_k+1=

k+1

．
故當n=k+1時，結論成立．…（12分）
由①、②可知，對一切n∈N₊，S_n=

n

都成立．…（13分）

點評：本題考查賦值思想，歸納推理以及數學歸納法的證明方法，考查分析問題解決問題的能力．