Question

9．設f（α）=sinⁿα+cosⁿα，n∈{n|n=2k，k∈N₊}
（I）分別求f（α）在n=2，4，6時的值域；
（Ⅱ）根據(jù)（I）中的結論，對n=2k，k∈N₊時f（α）的取值范圍作出一個猜想（只需寫出猜想，不必證明）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當n=2時，由平方關系求得f（α）=1，得到f（α）的值域為{1}；當n=4時，把f（α）變形可得f（α）=$1-\frac{1}{2}si{n}^{2}2α$，得f（α）的值域為[$\frac{1}{2}$，1]；當n=6時，f（α）=$1-\frac{3}{4}si{n}^{2}2α$，f（α）的值域為[$\frac{1}{4}$，1]．
（Ⅱ）由（Ⅰ）的結論猜想，當n=2k，k∈N^*時，$\frac{1}{{2}^{k-1}}≤f（α）≤1$．

解答 解：（Ⅰ）當n=2時，f（α）=sin²α+cos²α=1，∴f（α）的值域為{1}；
當n=4時，f（α）=sin⁴α+cos⁴α=$（si{n}^{2}α+co{s}^{2}α）^{2}-2si{n}^{2}αco{s}^{2}α=1-\frac{1}{2}si{n}^{2}2α$，
此時有$\frac{1}{2}≤$f（α）≤1，∴f（α）的值域為[$\frac{1}{2}$，1]；
當n=6時，f（α）=sin⁶α+cos⁶α=（sin²α+cos²α）（sin⁴α+cos⁴α-sin²αcos²α）
=$1-3si{n}^{2}αco{s}^{2}α=1-\frac{3}{4}si{n}^{2}2α$，
此時有$\frac{1}{4}≤$f（α）≤1，∴f（α）的值域為[$\frac{1}{4}$，1]．
（Ⅱ）由以上結論猜想，當n=2k，k∈N^*時，$\frac{1}{{2}^{k-1}}≤f（α）≤1$．

點評 本題考查三角函數(shù)最值的求法，考查三角函數(shù)的值域，訓練了同角三角函數(shù)基本關系式的應用，是中檔題．