Question

19．不等式$\frac{3{x}^{2}+2x+2}{{x}^{2}+x+1}≥m$對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≤2．

Answer 1

分析 不等式$\frac{3{x}^{2}+2x+2}{{x}^{2}+x+1}≥m$對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立?（3-m）x²+（2-m）x+（2-m）≥0．對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，對(duì)m分類討論即可得出．

解答 解：不等式$\frac{3{x}^{2}+2x+2}{{x}^{2}+x+1}≥m$，化為（3-m）x²+（2-m）x+（2-m）≥0．
∵不等式$\frac{3{x}^{2}+2x+2}{{x}^{2}+x+1}≥m$對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，
∴（3-m）x²+（2-m）x+（2-m）≥0．對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，
當(dāng)m=3時(shí)，化為x+1≤0，不滿足要求，舍去；
當(dāng)m≠3時(shí)，變形滿足$\left\{\begin{array}{l}{3-m＞0}\\{△=（2-m）^{2}-4（3-m）（2-m）≤0}\end{array}\right.$，解得：m≤2．
故答案為：m≤2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次不等式的解集與判別式的關(guān)系，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．