Question

已知函數(shù)f（x）=ax+b

1+x2

（x≥0）的圖象經(jīng)過兩點A（0，1）和B（

3

，2-

3

）．
（I）求f（x）的表達式及值域；
（II）給出兩個命題p：f（m²-m）＜f（3m-4）和q：log₂（m-1）＜1．問是否存在實數(shù)m，使得復合命題“p且q”為真命題？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）由題意知

f(0)=b=1 f( 3 )=a 3 +2b=2- 3

，解得

a=-1 b=1

，
故f(x)=

1+x2

-x，
由于f(x)=

1+x2

-x=

1

1+x2+x

在[0，+∞）上遞減，所以f（x）的值域為（0，1]．
（2）復合命題“p且q”為真命題，即p，q同為真命題．因為f（x）在[0，+∞）上遞減，
故p真?m²-m＞3m-4≥0?m≥

4

3

且m≠2；
q真?0＜m-1＜2?1＜m＜3，
故存在m∈[

4

3

，2)∪(2，3)滿足復合命題p且q為真命題．