Question

如圖，AB、CD是圓的兩條平行弦，BE∥AC，BE交CD于E、交圓于F，過A點的切線交DC的延長線于P，PC=ED=1，PA=2．
（Ⅰ）求AC的長；
（Ⅱ）試比較BE與EF的長度關(guān)系．

Answer 1

考點：相似三角形的性質(zhì)

專題：選作題,立體幾何

分析：（Ⅰ）先求出CE，再證明△PAC∽△CBA，利用相似比，即可求AC的長；
（Ⅱ）由相交弦定理可得CE•ED=BE•EF，求出EF，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（I）∵過A點的切線交DC的延長線于P，
∴PA²=PC•PD，
∵PC=1，PA=2，
∴PD=4
又PC=ED=1，∴CE=2，
∵∠PAC=∠CBA，∠PCA=∠CAB，
∴△PAC∽△CBA，
∴

PC

AC

=

AC

AB

，
∴AC²=PC•AB=2，
∴AC=

2

；                     …（5分）
（II）BE=AC=

2

，
由相交弦定理可得CE•ED=BE•EF．
∵CE=2，ED=1，
∴EF=

2

，
∴EF=BE．…（10分）

點評：本題考查相似三角形的性質(zhì)，考查相交弦定理，判斷三角形相似是關(guān)鍵．