【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),判斷函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若存在,使得(是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)在單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減;(2).
【解析】試題分析:(1)依據(jù)題設(shè)條件先求導(dǎo)再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系分析探求;(2)先將不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化,再構(gòu)造函數(shù)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)分析探求:
試題解析:
解:(1) .
當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí);當(dāng)時(shí).
故函數(shù)在單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減.
(2)因?yàn)榇嬖?/span>,使得成立,
而當(dāng)時(shí),,
所以只要即可.
又因?yàn)?/span>,,的變化情況如下表所示:
所以在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),所以當(dāng)時(shí),的最小值,的最大值為和中的最大值.
因?yàn)?/span> ,
令,因?yàn)?/span>,
所以在上是增函數(shù).
而,故當(dāng)時(shí),,即;
當(dāng)時(shí),,即.
所以,當(dāng)時(shí),,即,
函數(shù)在上是增函數(shù),解得;
當(dāng)時(shí),,即,
函數(shù)在上是減函數(shù),解得.
綜上可知,所求的取值范圍為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】現(xiàn)在頸椎病患者越來(lái)越多,甚至大學(xué)生也出現(xiàn)了頸椎病,年輕人患頸椎病多與工作、生活方式有關(guān),某調(diào)查機(jī)構(gòu)為了了解大學(xué)生患有頸椎病是否與長(zhǎng)期過(guò)度使用電子產(chǎn)品有關(guān),在遂寧市中心醫(yī)院隨機(jī)的對(duì)入院的50名大學(xué)生進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查,得到了如下的4×4列聯(lián)表:
未過(guò)度使用 | 過(guò)度使用 | 合計(jì) | |
未患頸椎病 | 15 | 5 | 20 |
患頸椎病 | 10 | 20 | 30 |
合計(jì) | 25 | 25 | 50 |
(1)是否有99.5%的把握認(rèn)為大學(xué)生患頸錐病與長(zhǎng)期過(guò)度使用電子產(chǎn)品有關(guān)?
(2)已知在患有頸錐病的10名未過(guò)度使用電子產(chǎn)品的大學(xué)生中,有3名大學(xué)生又患有腸胃炎,現(xiàn)在從上述的10名大學(xué)生中,抽取3名大學(xué)生進(jìn)行其他方面的排查,記選出患腸胃炎的學(xué)生人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
參考數(shù)據(jù)與公式:
P(K2≥k) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某權(quán)威機(jī)構(gòu)發(fā)布了2014年度“城市居民幸福排行榜”,某市成為本年度城市最“幸福城”.隨后,該市某校學(xué)生會(huì)組織部分同學(xué),用“10分制”隨機(jī)調(diào)查“陽(yáng)光”社區(qū)人們的幸福度.現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機(jī)抽取16名,如圖所示的莖葉圖記錄了他們的幸福度分?jǐn)?shù)(以小數(shù)點(diǎn)前的一位數(shù)字為莖,小數(shù)點(diǎn)后的一位數(shù)字為葉):
(1)指出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù);
(2)若幸福度不低于9.5分,則稱(chēng)該人的幸福度為“極幸福”.求從這16人中隨機(jī)選取3人,至多有1人是“極幸!钡母怕;
(3)以這16人的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)整個(gè)社區(qū)的總體數(shù)據(jù),若從該社區(qū)(人數(shù)很多)任選3人,記表示抽到“極幸!钡娜藬(shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱與底面垂直,AC=9,BC=12,AB=15,AA1=12,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).
(1)求證:AC⊥B1C;
(2)求證:AC1∥平面CDB1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校為了了解兩班學(xué)生寒假期間觀(guān)看《中國(guó)詩(shī)詞大會(huì)》的時(shí)長(zhǎng),分別從這兩個(gè)班中隨機(jī)抽取5名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,將他們觀(guān)看的時(shí)長(zhǎng)(單位:小時(shí))作為樣本,繪制成莖葉圖如圖所示(圖中的莖表示十位數(shù)字,葉表示個(gè)位數(shù)字).
(1)分別求出圖中所給兩組樣本數(shù)據(jù)的平均值,并據(jù)此估計(jì)哪個(gè)班的學(xué)生平均觀(guān)看的時(shí)間較長(zhǎng);
(2)從班的樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取一個(gè)不超過(guò)19的數(shù)據(jù)記為,從班的樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取一個(gè)不超過(guò)21的數(shù)據(jù)記為,求的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知矩形的長(zhǎng),寬,將其沿對(duì)角線(xiàn)折起,得到四面體,
如圖所示,給出下列結(jié)論:
①四面體體積的最大值為;
②四面體外接球的表面積恒為定值;
③若分別為棱的中點(diǎn),則恒有且;
④當(dāng)二面角為直二面角時(shí),直線(xiàn)所成角的余弦值為;
⑤當(dāng)二面角的大小為時(shí),棱的長(zhǎng)為.
其中正確的結(jié)論有____________________(請(qǐng)寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某工廠(chǎng)今年1月、2月、3月生產(chǎn)某種產(chǎn)品的數(shù)量分別是1萬(wàn)件、2萬(wàn)件、1.3萬(wàn)件,為了預(yù)測(cè)以后每個(gè)月的產(chǎn)量,以這三個(gè)月的產(chǎn)品數(shù)量為依據(jù),用一個(gè)函數(shù)模擬該產(chǎn)品的月產(chǎn)量y與月份x的關(guān)系,模擬函數(shù)可以選用二次函數(shù)或函數(shù)y=abx+c(其中a,b,c為常數(shù)),已知4月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為1.37萬(wàn)件,請(qǐng)問(wèn)用以上哪個(gè)函數(shù)作為模擬函數(shù)較好?并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在如圖所示的多面體中, 平面, .
(1)在上求作點(diǎn),使平面,請(qǐng)寫(xiě)出作法并說(shuō)明理由;
(2)求三棱錐的高.
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