Question

前不久央視記者就“你幸福嗎？”采訪了走在接頭及工作崗位上的部分人員．人們常說的“幸福感指數(shù)”就是指某個人主觀地評價他對自己目前生活狀態(tài)的滿意程度，常用區(qū)間[0，10]內(nèi)的一個數(shù)來表示，該數(shù)越接近10表示滿意度越高．為了解某地區(qū)居民的幸福感，隨機(jī)對該地區(qū)的男、女居民各500人進(jìn)行了調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)如表所示：

幸福感指數(shù)	[0，2）	[2，4）	[4，6）	[6，8）	[8，10]
男居民人數(shù)	10	20	220	125	125
女居民人數(shù)	10	10	180	175	125

根據(jù)表格，解答下面的問題：
（1）補(bǔ)全頻率分布直方圖，并根據(jù)頻率分布直方圖估算該地區(qū)居民幸福感指數(shù)的平均值；
（2）如果居民幸福感指數(shù)不小于6，則認(rèn)為其幸福．據(jù)此，又在該地區(qū)隨機(jī)抽取3對夫妻進(jìn)行調(diào)查，用X表示他們之中幸福夫妻（夫妻二人都感到幸福）的對數(shù)，求X的分布列及期望（以樣本的頻率作為總體的概率）．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,頻率分布直方圖

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）由已知條件，利用調(diào)查數(shù)據(jù)，分別求出幸福感指數(shù)在[4，6），[6，8）內(nèi)的頻數(shù)，由此能求出結(jié)果．
（2）由已知條件，能推導(dǎo)出X的可能取值為0，1，2，3，且X～B（3，0.3），由此能求出X的分布列及期望．

解答： 解：（1）幸福感指數(shù)在[4，6），[6，8）內(nèi)
的頻數(shù)分別為220+180=400和125+175=300，
因?yàn)榭側(cè)藬?shù)為1000，
所以，相應(yīng)的頻率÷組距為：
400÷1000÷2=0.2，
300÷1000÷2=0.15，
據(jù)此可補(bǔ)全頻率分布直方圖如右圖．…3分
所求的平均值為：
0.01×2×1+0.015×2×3+0.2×2×5+0.15×2×7+0.125×2×9=6.46．…5分
  （2）男居民幸福的概率為

125+125

500

=05．
女居民幸福的概率為

175+125

500

=0.6
故一對夫妻都幸福的概率為0.5×0.6=0.3…7分
 因此X的可能取值為0，1，2，3，且X～B（3，0.3）
于是P（X=K）=C

K 3

0.3^K（1-0.3）^3-K（K=0，1，2，3）…9分
∴P（X=0）=

C

0 3

0.3⁰（1-0.3）³=0.343，
P（X=1）=

C

1 3

0.3（1-0.3）²=0.441，
P（X=2）=

C

2 3

0.3²（1-0.3）=0.188，
P（X=3）=

C

3 3

0.3³（1-0.3）⁰=0.027．
∴X的分布列為

X	0	1	2	3
p	0.343	0.441	0.189	0.027

E（X）=np=0.3×3=0.9  …12分
（或E（X）=0×0.343+1×0.441+2×0.189+3×0.027=0.9）…12分

點(diǎn)評：本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，解題時要注意二項(xiàng)分布的合理運(yùn)用．