Question

【題目】已知在點處的切線與直線平行．

（Ⅰ）求實數的值；

（Ⅱ）設．

（i）若函數在上恒成立，求的最大值；

（ii）當時，判斷函數有幾個零點，并給出證明．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）1；詳見解析.

【解析】

Ⅰ求函數的導數，計算時的導數即可求出a的值；Ⅱ求的導數，討論當和時的單調性，由單調性判斷最值即可得到b的最大值；化簡知0是的一個零點，利用構造函數法討論和時，函數是否有零點，從而確定函數的零點情況．

解：Ⅰ函數，則，

由題意知時，，即a的值為1；

Ⅱ，

所以，

當時，若，則，，單調遞增，所以；

當時，若，令，解得舍去，，

所以在內單調遞減，，所以不恒成立，

所以b的最大值為1；

，顯然有一個零點為0，

設，則；

當時，無零點，所以只有一個零點0；

當時，，所以在R上單調遞增，

又，，

由零點存在性定理可知，在上有唯一一個零點，

所以有2個零點；

綜上所述，時，只有一個零點，時，有2個零點．