Question

已知點(diǎn)P是棱長為

2

的正八面體的一個(gè)對(duì)角面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若P到不在該對(duì)角面上的一個(gè)頂點(diǎn)的距離是它到在該對(duì)角面上的某個(gè)頂點(diǎn)的距離的

2

倍，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（　�。┑牟糠郑�

• A、圓
• B、拋物線
• C、雙曲線
• D、橢圓

Answer 1

分析：由阿波羅尼圓問題，我們可以類比推斷出在空間中到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為宣傳的動(dòng)點(diǎn)軌跡為一個(gè)球，結(jié)合P點(diǎn)是正八面體的一個(gè)對(duì)角面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，故我們可將問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)平面與球的截面形狀判定問題，結(jié)合球的幾何特征即可得到答案．

解答：解：設(shè)不在該對(duì)角面上的一個(gè)頂點(diǎn)為A，
在該對(duì)角面上的某個(gè)頂點(diǎn)為B
若P點(diǎn)到A的距離為P點(diǎn)到B點(diǎn)距離的

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倍，
則P點(diǎn)的軌跡為一個(gè)球
又由題目中P點(diǎn)是正八面體的一個(gè)對(duì)角面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
該平面截上述球所得的軌跡為一個(gè)圓
故選A

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的比為定值的動(dòng)點(diǎn)軌跡，即是阿波羅尼圓問題．但在空間中，到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為宣傳的動(dòng)點(diǎn)軌跡為一個(gè)球，本題是一個(gè)平面截球的截面形狀判定問題．