【題目】已知函數(shù)

(1)當時,求函數(shù)處的切線方程;

(2)若函數(shù)在定義域上具有單調(diào)性,求實數(shù)的取值范圍;

(3)求證:

【答案】(1) (2)a≤2.(3)詳見解析

【解析】試題分析:(1)由導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率等于該點處導(dǎo)數(shù)值,再利用點斜式求切線方程,(2)先按單調(diào)遞增與單調(diào)遞減分類討論,再將函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為函數(shù)導(dǎo)數(shù)值恒非負或非正,利用變量分離轉(zhuǎn)化為求對應(yīng)函數(shù)最值,進而確定實數(shù)的取值范圍;(3)利用導(dǎo)數(shù)證明數(shù)列求和不等式,一般方法為先構(gòu)造目標函數(shù)(利用前面小題的結(jié)論),再代入數(shù)列,利用裂項相消法放縮求和,進而得證不等式.

試題解析:(1)當a=1時,f(x)=(x+1)lnx﹣x+2,(x>0),

f′(x)=lnx+,f′(1)=1,f(1)=1,

所以求在x=1處的切線方程為:y=x

(2)f′(x)=lnx++1﹣a,(x>0).

(i)函數(shù)f(x)在定義域上單調(diào)遞減時,

即a≥lnx+時,令g(x)=lnx+,

當x>ea時,g′(x)>0,不成立;

(ii)函數(shù)f(x)在定義域上單調(diào)遞增時,a≤lnx+

令g(x)=lnx+,

則g′(x)=,x>0;

則函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增;

所以g(x)≥2,故a≤2.

(3)由(ii)得當a=2時f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,

由f(x)>f(1),x>1得(x+1)lnx﹣2x+2>0,

即lnx>在(1,+∞)上總成立,

令x=得ln

化簡得:ln(n+1)﹣lnn>,

所以ln2﹣ln1>,

ln3﹣ln2>,…,

ln(n+1)﹣lnn>,

累加得ln(n+1)﹣ln1>,

命題得證.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知函數(shù),現(xiàn)提供的大致圖象的8個選項:

(1)請你作出選擇,你選的是( );

(2)對于函數(shù)圖像的判斷,往往只需了解函數(shù)的基本性質(zhì).為了驗證你的選擇的正確性,請你解決

下列問題:

的定義域是___________________;

②就奇偶性而言, 是______________________ ;

③當時, 的符號為正還是負?并證明你的結(jié)論.

(解決了上述三個問題,你要調(diào)整你的選項,還來得及.)

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已知函數(shù).

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【題目】某單位實行休年假制度三年以來,50名職工休年假的次數(shù)進行的調(diào)查統(tǒng)計結(jié)果如下表所示:

休假次數(shù)

0

1

2

3

人數(shù)

5

10

20

15

根據(jù)表中信息解答以下問題:

(1)從該單位任選兩名職工,求這兩人休年假次數(shù)之和為4的概率;

(2)從該單位任選兩名職工,用表示這兩人休年假次數(shù)之差的絕對值,求隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望

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【題目】已知函數(shù).

(1)求時,求的單調(diào)區(qū)間;

(2)討論在定義域上的零點個數(shù).

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【題目】已知點,橢圓的離心率為是橢圓的焦點,直線的斜率為為坐標原點.

(1)求橢圓的方程;

(2)設(shè)過點的直線與橢圓相交于兩點,當的面積最大時,求直線的方程.

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【題目】某校為了紀念“中國紅軍長征90周年”,增強學(xué)生對“長征精神”的深刻理解,在全校組織了一次有關(guān)“長征”的知識競賽,經(jīng)過初賽、復(fù)賽,甲、乙兩個代表隊(每隊3人)進入了決賽,規(guī)定每人回答一個問題,答對為本隊贏得20分,答錯得0分.假設(shè)甲隊中每人答對的概率均為,乙隊中3人答對的概率分別為, , ,且各人回答正確與否相互之間沒有影響,用表示乙隊的總得分.

(1)求的分布列和均值;

(2)求甲、乙兩隊總得分之和等于40分且甲隊獲勝的概率.

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【題目】設(shè)某物體一天中的溫度是時間的函數(shù),已知,其中溫度的單位是,時間的單位是小時,規(guī)定中午12:00相應(yīng)的,中午12:00以后相應(yīng)的取正數(shù),中午12:00以前相應(yīng)的取負數(shù)(例如早上8:00相應(yīng)的,下午16:00相應(yīng)的),若測得該物體在中午12:00的溫度為,在下午13:00的溫度為,且已知該物體的溫度在早上8:00與下午16:00有相同的變化率.

(1)求該物體的溫度關(guān)于時間的函數(shù)關(guān)系式;

(2)該物體在上午10:00至下午14:00這段時間中(包括端點)何時溫度最高?最高溫度是多少?

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