【題目】已知橢圓E: + =1(a>b>0)的兩個焦點為F1、F2 , 且橢圓E過點(0, ),( ,﹣ ),點A是橢圓上位于第一象限的一點,且△AF1F2的面積S =
(1)求點A的坐標;
(2)過點B(3,0)的直線l與橢圓E相交于點P、Q,直線AP、AQ分別與x軸相交于點M、N,點C( ,0),證明:|CM||CN|為定值,并求出該定值.

【答案】
(1)解:由于橢圓E過點(0, ),( ,﹣ ),

,解得b=c= ,a2=6,

∴橢圓E的方程為:

∵△AF1F2的面積SAF1F2=

=

∴yA=1,代入橢圓方程可得:

∵xA>0,解得xA=2.

∴A(2,1).


(2)證明:設直線l的方程為:my=x﹣3,P(x1,y1),Q(x2,y2).

直線AP的方程為:y﹣1= (x﹣2),可得M ,即M

直線AQ的方程為:y﹣1= (x﹣2),可得N ,即N

聯(lián)立 ,化為:(2+m2)y2+6my+3=0.

△>0,可得m2>1.

∴y1+y2= ,

∴|CM||CN|= =

=

= = = ,為定值.


【解析】(1)由于橢圓E過點(0, ),( ,﹣ ),聯(lián)立 ,可得橢圓的方程.由于△AF1F2的面積SAF1F2= ,利用 = ,可得yA=1,代入橢圓方程可得得xA . 即可得出A的坐標.(2)設直線l的方程為:my=x﹣3,P(x1 , y1),Q(x2 , y2).直線AP的方程為:y﹣1= (x﹣2),M .同理可得N .聯(lián)立 ,化為:(2+m2)y2+6my+3=0.利用根與系數(shù)的關系可得y1+y2 , y1y2 . 即可證明|CM||CN|為定值.

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