Question

【題目】已知橢圓E： + =1（a＞b＞0）的兩個焦點為F1、F2 ， 且橢圓E過點（0， ），（ ，﹣ ），點A是橢圓上位于第一象限的一點，且△AF1F2的面積S△ = ．
（1）求點A的坐標；
（2）過點B（3，0）的直線l與橢圓E相交于點P、Q，直線AP、AQ分別與x軸相交于點M、N，點C（ ，0），證明：|CM||CN|為定值，并求出該定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由于橢圓E過點（0， ），（ ，﹣ ），

∴ ，解得b=c= ，a2=6，

∴橢圓E的方程為： ．

∵△AF1F2的面積S△AF1F2= ．

∴ = ，

∴yA=1，代入橢圓方程可得： ，

∵xA＞0，解得xA=2．

∴A（2，1）．

（2）證明：設(shè)直線l的方程為：my=x﹣3，P（x1，y1），Q（x2，y2）．

直線AP的方程為：y﹣1= （x﹣2），可得M ，即M ．

直線AQ的方程為：y﹣1= （x﹣2），可得N ，即N ．

聯(lián)立 ，化為：（2+m2）y2+6my+3=0．

△＞0，可得m2＞1．

∴y1+y2= ， ．

∴|CM||CN|= =

=

= = = ，為定值．

【解析】（1）由于橢圓E過點（0， ），（ ，﹣ ），聯(lián)立 ，可得橢圓的方程．由于△AF1F2的面積S△AF1F2= ，利用 = ，可得yA=1，代入橢圓方程可得得xA ． 即可得出A的坐標．（2）設(shè)直線l的方程為：my=x﹣3，P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2）．直線AP的方程為：y﹣1= （x﹣2），M ．同理可得N ．聯(lián)立 ，化為：（2+m2）y2+6my+3=0．利用根與系數(shù)的關(guān)系可得y1+y2 ， y1y2 ． 即可證明|CM||CN|為定值．