Question

已知函數(shù)f（x）=a-

2x

4x+1

（a∈R）．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）判斷并證明函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）首先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，其次判斷f（-x）±f（x）=0是否成立即可；
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義即可判斷證明．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=a-

2x

4x+1

（a∈R），定義域為實數(shù)集R．
①∵f（-x）-f（x）=a-

2-x

4-x+1

-(a-

2x

4x+1

)=-

2-x×4x

1+4x

+

2x

4x+1

=-

2x

4x+1

+

2x

4x+1

=0，∴f（-x）=f（x）對于任意實數(shù)x都成立，∴函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
②又f（-x）+f（x）=a-

2-x

4-x+1

+a-

2x

4x+1

=2a-

2x

1+4x

×2，此式對于任意的實數(shù)x不滿足f（-x）+f（x）=0，故此函數(shù)不是奇函數(shù)．
（2）解：判斷：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)．
證明：任取0＜x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=a-

2x1

4x1+1

-(a-

2x2

4x2+1

)=

(2x1-2x2)(2x1+x2-1)

(4x1+1)(4x2+1)

，
由0＜x₁＜x₂，∴2x1＜2x2，2x1+x2＞1，
∴2x1-2x2＜0，2x1+x2-1＞0，
又4x1+1＞0，4x2+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)．

點評：熟練掌握函數(shù)的奇偶性的判斷方法和證明函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．