Question

直線l：滿足斜率為2，與y軸交于P（0，m），m為何值時，直線l與圓x²+y²=5．
（1）無公共點；
（2）截得的弦長為2；
（3）交點處兩條半徑互相垂直．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：（1）由條阿金根據(jù)圓心到直線的距離大于半徑，求得m的范圍．
（2）如圖1所示，由平面幾何垂徑定理知r²-d²=1²，從而求得m的值．
（3）如圖2所示，由題意可得，弦與過弦兩端的半徑組成等腰直角三角形，故有弦心距d=

2

2

r，由此解得m的值．

解答： 解：（1）由已知，直線l：2x-y+m=0，圓的圓心為O（0，0），半徑r=

5

，
圓心到直線2x-y+m=0的距離d=

|m|

22+(-1)2

=

|m|

5

，∵直線與圓無公共點，∴d＞r，即

|m|

5

＞

5

，
求得m＞5或m＜-5．故當(dāng)m＞5或m＜-5時，直線與圓無公共點．
（2）如圖1所示，由平面幾何垂徑定理知r²-d²=1²，即5-

m2

5

=1．得m=±2

5

，
∴當(dāng)m=±2

5

時，直線被圓截得的弦長為2．
（3）如圖2所示，由于交點處兩條半徑互相垂直，∴弦與過弦兩端的半徑組成等腰直角三角形，
∴d=

2

2

r，即

|m|

5

=

2

2

•

5

，解得m=±

5 2

2

．
故當(dāng)m=±

5 2

2

時，直線與圓在兩交點處的兩條半徑互相垂直．

點評：本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，點到直線的距離公式，弦長公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．