Question

已知曲線(xiàn)C上的動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿(mǎn)足到點(diǎn)F（0，1）的距離比到直線(xiàn)y=-2的距離小1．
（1）求曲線(xiàn)C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)F作直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于A、B兩點(diǎn)．
（�。┻^(guò)A、B兩點(diǎn)分別作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)，設(shè)其交點(diǎn)為M，證明：MA⊥MB；
（ⅱ）是否在y軸上存在定點(diǎn)Q，使得無(wú)論AB怎樣運(yùn)動(dòng)，都有∠AQF=∠BQF？證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)拋物線(xiàn)方程，可以很容易寫(xiě)出拋物線(xiàn)方程．
（2）（ⅰ）先設(shè)出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)和過(guò)點(diǎn)F在直線(xiàn)l方程，代入拋物線(xiàn)方程，消y，求x₁+x₂，x₁x₂，再利用導(dǎo)數(shù)找兩條切線(xiàn)斜率關(guān)系，看是否斜率乘積等-1，問(wèn)題得證．
（ⅱ）先設(shè)在y軸上存在定點(diǎn)Q，坐標(biāo)為（0，t），使得無(wú)論AB怎樣運(yùn)動(dòng)，都有∠AQF=∠BQF，則AQ，BQ傾斜角互補(bǔ)，斜率互為相反數(shù)，所以k_AQ+k_BQ=0，再用A，B，Q點(diǎn)坐標(biāo)表示AQ，BQ斜率，利用（�。┲衳₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，可求出含
t的方程，即可證出結(jié)論．
解答：解：（1）依題意有，由顯然y＞-2，得，化簡(jiǎn)得x²=4y；
（2）（�。�∵直線(xiàn)AB與x軸不垂直，設(shè)AB：y=kx+8．
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
x²-4kx-4=0，x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4
拋物線(xiàn)方程為．
所以過(guò)拋物線(xiàn)上A、B兩點(diǎn)的切線(xiàn)斜率分別是，，
∴即AM⊥BM
（ⅱ）設(shè)點(diǎn)Q（0，t），此時(shí)，
由（�。┛芍�故對(duì)一切k恒成立
即：k（8+t）=0
故當(dāng)t=-1，即Q（0，-1）時(shí)，使得無(wú)論AB怎樣運(yùn)動(dòng)，都有∠AQP=∠BQP
點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線(xiàn)方程的求法，利用導(dǎo)數(shù)求拋物線(xiàn)斜率，以及定植問(wèn)題，做題時(shí)應(yīng)認(rèn)真分析，找到切入點(diǎn)．