已知曲線C上的動點P（x，y）滿足到點F（0，1）的距離比到直線l：y=-2的距離小1．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）動點E在直線l上，過點E分別作曲線C的切線EA、EB，切點為A、B．直線AB是否恒過定點，若是，求出定點坐標，若不是，請說明理由．
分析：（Ⅰ）由已知動點P（x，y）滿足到點F（0，1）的距離比到直線l：y=-2的距離小1，可得：動點P（x，y）滿足到點F（0，1）的距離與到直線l'：y=-1的距離相等．利用拋物線的定義可知：點P的軌跡是拋物線．
（II）設E（a，-2），設切線的切點為(x0，
x
2
0
4
)．由x2=4y得y=
x2
4
，利用導數(shù)可得y′=
x
2
，利用向量計算公式即可得出
x0
2
=
x
2
0
4
+2
x0-a
．解出x0，即可得出切點A，B，進而得到切線方程．
解答：解：（Ⅰ）∵動點P（x，y）滿足到點F（0，1）的距離比到直線l：y=-2的距離小1，
∴動點P（x，y）滿足到點F（0，1）的距離與到直線l'：y=-1的距離相等．
∴曲線C是以F（0，1）為焦點，y=-1為準線的拋物線，
∴曲線C的方程的方程是：x2=4y．
（Ⅱ）設E（a，-2），設切線的切點為(x0，
x
2
0
4
)．
由x2=4y得y=
x2
4
，∴y′=
x
2
，∴
x0
2
=
x
2
0
4
+2
x0-a
．
解得：x0=a±
a2+8
，
∴A(a+
a2+8
，
(a+
a2+8
)2
4
)，B(a-
a2+8
，
(a-
a2+8
)2
4
)．
化簡直線AB方程得：y-2=
a
2
x，
∴直線AB必過定點（0，2）．
點評：本題考查了拋物線的定義、直線與拋物線相切的性質(zhì)、導數(shù)的幾何意義等基礎知識與基本方法，屬于中檔題．
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已知曲線C上的動點P（x，y）滿足到點F（0，1）的距離比到直線l：y=-2的距離小1．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）動點E在直線l上，過點E分別作曲線C的切線EA，EB，切點為A、B．
（�。┣笞C：直線AB恒過一定點，并求出該定點的坐標；
（ⅱ）在直線l上是否存在一點E，使得△ABM為等邊三角形（M點也在直線l上）？若存在，求出點E坐標，若不存在，請說明理由．

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已知曲線C上的動點P（x，y）滿足到點F（0，1）的距離比到直線y=-2的距離小1．
（1）求曲線C的方程；
（2）過點F作直線l與曲線C交于A、B兩點．
（�。┻^A、B兩點分別作拋物線的切線，設其交點為M，證明：MA⊥MB；
（ⅱ）是否在y軸上存在定點Q，使得無論AB怎樣運動，都有∠AQF=∠BQF？證明你的結(jié)論．

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已知曲線C上的動點P到點F（2，0）的距離比它到直線x=-1的距離大1．
（I）求曲線C的方程；
（II）過點F（2，0）且傾斜角為α(0＜α＜
π2
)的直線與曲線C交于A，B兩點，線段AB的垂直平分線m交x軸于點P，證明：|FP|-|FP|•cos2α為定值，并求出此定值．

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2

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