Question

已知曲線C上的動點P（x，y）滿足到定點A（-1，0）的距離與到定點B（1，0）距離之比為

2

（1）求曲線C的方程．
（2）過點M（1，2）的直線l與曲線C交于兩點M、N，若|MN|=4，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)動點P（x，y）滿足到定點A（-1，0）的距離與到定點B（1，0）距離之比為

2

，建立方程，化簡可得曲線C的方程．
（2）分類討論，設(shè)出直線方程，求出圓心到直線的距離，利用勾股定理，即可求得直線l的方程．

解答：解：（1）由題意得|PA|=

2

|PB|…（2分）；
故

(x+1)2+y2

=

2

(x-1)2+y2

                    …（3分）；
化簡得：x²+y²-6x+1=0（或（x-3）²+y²=8）即為所求．  …（5分）；
（2）當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=1，
將x=1代入方程x²+y²-6x+1=0得y=±2，
所以|MN|=4，滿足題意．                                 …（8分）；
當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=kx-k+2
由圓心到直線的距離d=2=

|3k-k+2|

1+k2

                    …（10分）；
解得k=0，此時直線l的方程為y=2．
綜上所述，滿足題意的直線l的方程為：x=1或y=2．      …（12分）．

點評：本題考查軌跡方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．