【題目】已知函數(shù),.
(1)當,時,求函數(shù)在處的切線方程,并求函數(shù)的最大值;
(2)若函數(shù)的兩個零點分別為,,且,求證:.
【答案】(1);(2)見解析
【解析】
(1)當時,求得斜率和切點的坐標,利用點斜式寫出切線方程.根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,由此求得函數(shù)的最大值.(2)將兩個零點代入函數(shù)的解析式,將得到兩個方程相減,化簡為的表達式,通過令,將所要證明的不等式轉(zhuǎn)化為證明,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)證明,由此證得原不等式成立.
(1)解:當,時,,,
則,切點為,故函數(shù)在處的切線方程為.
令,則在是減函數(shù),
又,∴,,,,,,
在上是增函數(shù),在是減函數(shù),.
(2)證明:∵,是的兩個零點,不妨設(shè),
∴,
,,
∴,,
相減得:
,
,
∴ ,
令,即證,,
,
令,,,
在上是增函數(shù),又∵,
∴,,命題得證.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】華為董事會決定投資開發(fā)新款軟件,估計能獲得萬元到萬元的投資收益,討論了一個對課題組的獎勵方案:獎金(單位:萬元)隨投資收益(單位:萬元)的增加而增加,且獎金不超過萬元,同時獎金不超過投資收益的.
(1)請分析函數(shù)是否符合華為要求的獎勵函數(shù)模型,并說明原因;
(2)若華為公司采用模型函數(shù)作為獎勵函數(shù)模型,試確定正整數(shù)的取值集合.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(1)求曲線的極坐標方程和的直角坐標方程;
(2)設(shè)是曲線上一點,此時參數(shù),將射線繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)交曲線于點,記曲線的上頂點為點,求的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列的前n項和,且滿足,,數(shù)列是首項為2,公比為q()的等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)設(shè)正整數(shù)k,t,r成等差數(shù)列,且,若,求實數(shù)q的最大值;
(3)若數(shù)列滿足,,其前n項和為,當時,是否存在正整數(shù)m,使得恰好是數(shù)列中的項?若存在,求岀m的值;若不存在,說明理由.
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【題目】若二次函數(shù)g(x)=ax2+bx+c(a≠0)滿足g(x+1)=2x+g(x),且g(0)=1.
(1)求g(x)的解析式;
(2)若在區(qū)間[-1,1]上,不等式g(x)-t>2x恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】根據(jù)統(tǒng)計,某蔬菜基地西紅柿畝產(chǎn)量的增加量(百千克)與某種液體肥料每畝使用量(千克)之間的對應(yīng)數(shù)據(jù)的散點圖,如圖所示.
(1)依據(jù)數(shù)據(jù)的散點圖可以看出,可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系,請計算相關(guān)系數(shù)并加以說明(若,則線性相關(guān)程度很高,可用線性回歸模型擬合);
(2)求關(guān)于的回歸方程,并預(yù)測液體肥料每畝使用量為12千克時,西紅柿畝產(chǎn)量的增加量約為多少?
附:相關(guān)系數(shù)公式,參考數(shù)據(jù):,.
回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性并指出相應(yīng)單調(diào)區(qū)間;
(2)若,設(shè)是函數(shù)的兩個極值點,若,且恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),,.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)有兩個零點,().
(i)求的取值范圍;
(ii)求證:隨著的增大而增大.
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