Question

對于函數(shù)f（x）=a-

2

2x+1

（a∈R）
（1）是否存在實數(shù)a使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)？
（2）證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）若函數(shù)f（x）=a-

2

2x+1

為奇函數(shù)，則f（0）=0，進而可求出滿足條件的實數(shù)a值．
（2）任取x₁＜x₂，判斷f（x₁），f（x₂）的大小，進而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義可判斷出函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

解答： 解：（1）若函數(shù)f（x）=a-

2

2x+1

為奇函數(shù)，
則f（0）=a-1=0，
解得：a=1，
當a=1時，f（x）=1-

2

2x+1

=

2x-1

2x+1

滿足f（-x）=-f（x），
故存在a=1使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（2）設(shè)x₁＜x₂，則2x1+1＞0，2x2+1＞0，2x1＜2x2
∴f（x₁）-f（x₂）=a-

2

2x1+1

-（a-

2

2x2+1

）
=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
故函數(shù)f（x）為增函數(shù)

點評：本題考查的知識點是函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)單調(diào)性的判斷，熟練掌握函數(shù)奇偶性和函數(shù)單調(diào)性的定義是解答的關(guān)鍵．