Question

一個(gè)酒杯的軸截面是開(kāi)口向上的拋物線的一段弧，它的口寬是的4

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，杯深20，在杯內(nèi)放一玻璃球，當(dāng)玻璃球的半徑r最大取

 

時(shí)，才能使玻璃球觸及杯底．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)小球圓心（0，y₀） 拋物線上點(diǎn)（x，y），求得點(diǎn)到圓心距離平方 的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)若r²最小值在（0，0）時(shí)取到，則小球觸及杯底需1-y₀≥0 進(jìn)而求得r的范圍，即可得出結(jié)論．

解答： 解：由題可知拋物線的方程為x²=2y（0≤y≤20），
設(shè)小球的截面圓心為（0，y₀），拋物線上點(diǎn)M（x，y）
點(diǎn)M到圓心距離平方
r²=x²+（y-y₀）²=2y+（y-y₀）²=Y²+2（1-y₀）y+y₀²
若r²最小值在（0，0）時(shí)取到，則小球觸及杯底，所以1-y₀≥0
所以0＜y₀≤1，
所以0＜r≤1，
故當(dāng)玻璃球的半徑r最大取1時(shí)，才能使玻璃球觸及杯底．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的應(yīng)用．考查了學(xué)生利用拋物線的基本知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力．