Question

如圖，在△CEF中，CD⊥EF，且DE=1，DF=DC=2，A，B分別是FD，F(xiàn)C的中點(diǎn)．現(xiàn)將△ABF，△DEC分別沿AB，CD折起，使平面ABF，平面DEC都與四邊形ABCD所在的平面垂直．
（Ⅰ）求證：平面BDE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求二面角B-CE-D的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,平面與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出DB⊥BC，DE⊥BC，由此能證明BC⊥平面BDE，從而得到平面BDE⊥平面BCE．
（Ⅱ）以D為原點(diǎn)，以DA、DC、DE分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角B-CE-D的正切值．

解答： （Ⅰ）證明：∵DF=DC，B是FC中點(diǎn)，
∴DB⊥BC，
∵在△CEF中，CD⊥EF，
∴折疊后CD⊥DE，
∵DEC與四邊形ABCD所在的平面垂直，
∴DE⊥平面ABCD，
∵BC?平面ABCD，∴DE⊥BC，
∵DB∩DE=D，∴BC⊥平面BDE，
∵BC?平面BCE，
∴平面BDE⊥平面BCE．…（6分）
（Ⅱ）∵在△CEF中，CD⊥EF，
∴折疊后CD⊥AD，∴以D為原點(diǎn)，以DA、DC、DE分別為x軸，y軸，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
∵DE=1，DF=DC=2，A，B分別是FD，F(xiàn)C的中點(diǎn)，
∴B（1，1，0），C（0，2，0），E（0，0，1），
∴

BC

=(-1，1，0)，

BE

=(-1，-1，1)，
設(shè)平面BCE的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • BC =-x+y=0 n • BE =-x-y+z=0

，
取x=1，得

n

=(1，1，2)，
由題意知平面CDE的法向量

m

=(1，0，0)，
設(shè)二面角B-CE-D的平面角為θ，
則cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

1

6

|=

6

6

，
∴tanθ=

5

，
∴二面角B-CE-D的正切值為

5

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的正切值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．