Question

已知橢圓G：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

3

3

，長軸長為2

3

．
（Ⅰ）求G的方程；
（Ⅱ）直線y=kx+1與橢圓G交于不同的兩點(diǎn)A，B，若存在點(diǎn)M（m，0），使得|AM|=|BM|成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：對(duì)第（1）問，根據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，c的三個(gè)方程，可求得a²，b²，即得G的方程；
對(duì)第（2）問，由|AM|=|BM|聯(lián)想到等腰△MAB三線合一的性質(zhì)，于是將中點(diǎn)公式與韋達(dá)定理聯(lián)合，從而m可用k表示，即可得m的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由已知條件得

2a=2 3 e= c a = 3 3 a2=b2+c2

，解得

a= 3 c=1 b= 2

，
∴G的方程是

x2

3

+

y2

2

=1．           
（Ⅱ）設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），A，B中點(diǎn)為N（x₀，y₀）．
①當(dāng)k=0時(shí)，直線y=kx+1即為y=1，顯然，M（m，0）為坐標(biāo)原點(diǎn)，符合題意，得m=0；
②當(dāng)k≠0時(shí)，由

y=kx+1 x2 3 + y2 2 =1

，得（3k²+2）x²+6kx-3=0，
易知△＞0，由韋達(dá)定理得x1+x2=-

6k

3k2+2

，則x0=

x1+x2

2

=-

3k

3k2+2

，
從而y0=kx0+1=

2

3k2+2

，
∴MN斜率kMN=

y0

x0-m

=

2 3k2+2

- 3k 3k2+2 -m

．
又∵|AM|=|BM|，∴AB⊥MN，
∴

2 3k2+2

- 3k 3k2+2 -m

=-

1

k

，得 m=-

k

3k2+2

=-

1

3k+ 2 k

．
當(dāng)k＞0時(shí)，3k+

2

k

≥2

3k• 2 k

=2

6

，則-

6

12

≤-

1

3k+ 2 k

＜0，即-

6

12

≤m＜0；
當(dāng)k＜0時(shí)，-（3k+

2

k

）≥2

(-3k)• 2 -k

=2

6

，則0＜-

1

3k+ 2 k

≤

6

12

，即0＜m≤

6

12

．
即k≠0時(shí)，m∈[-

6

12

，0)∪(0，

6

12

]．
綜合①、②知，m的取值范圍是[-

6

12

，

6

12

]．

點(diǎn)評(píng)：通過本題的求解過程，我們可以得到以下幾條技巧：
1．注意橢圓方程中的隱含條件：a²=b²+c²．
2．用韋達(dá)定理處理中點(diǎn)問題，是求解直線與橢圓相交問題的常用手段之一，應(yīng)熟練掌握．
3．對(duì)于參數(shù)的范圍或最值問題，一般先列出關(guān)于參數(shù)的方程或不等式，再將參數(shù)進(jìn)行分離，最后轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題或利用基本不等式解決．