Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=0，，n∈N^*．
（1）求證：是等差數(shù)列；并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）假設對于任意的正整數(shù)m、n，都有|b_n-b_m|＜ω，則稱該數(shù)列為“ω域收斂數(shù)列”．試判斷：數(shù)列，n∈N^*是否為一個“域收斂數(shù)列”，請說明你的理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題中所給出的等式，求數(shù)列的相鄰兩項的差，并將這個差進行化簡，最終得出這個差等于-1，得出數(shù)列是公差為-1的等差數(shù)列，則不難通過數(shù)列求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2），說明數(shù)列{b_n}的奇數(shù)項為負數(shù)，偶數(shù)項為正數(shù)．通過作差：|b_n+1|-|b_n|，化簡得|b_n+1|-|b_n|=，討論得當n=3時，|b₃|是數(shù)列{|b_n|}的最大項，但是b₃＜0，說明b₃是{b_n}最小的項，而在正數(shù)項中，絕對第二大的項可能是b₂或b₄，通過作差比較可得b₂是數(shù)列{b_n}的最大項．在此基礎之上不難用定義：對于任意的正整數(shù)m、n，都有|b_n-b_m|＜ω，則稱該數(shù)列為“ω域收斂數(shù)列”，證明數(shù)列{b_n}是一個“域收斂數(shù)列”了．
解答：證：（1）因為，
所以，n∈N^*；
故是等差數(shù)列．
由此可得，，
所以，n∈N^*．
（2）由條件，
可知當n=2k，b_n＞0；當n=2k-1時，b_n≤0，k∈N^*．
令，則=．
∴當-n²+5＞0⇒n≤2時，|b_n+1|＞|b_n|；
同理可得，當-n²+5＜0⇒n≥3時，|b_n+1|＜|b_n|；
即數(shù)列{|b_n|}在n=1，2，3時遞增；n≥4時，遞減；
即|b₃|是數(shù)列{|b_n|}的最大項．
然而，因為{b_n}的奇數(shù)項均為-|b_n|，故為數(shù)列{b_n}的最小項；
而，，
所以b₂＞b₄，故b₂是數(shù)列{b_n}的最大項．
∴對任意的正整數(shù)m、n，，
∴數(shù)列，n∈N^*是一個“域收斂數(shù)列”．
點評：本題是一道由一個數(shù)列為基礎，同時考查了函數(shù)不等式的相關知識，屬于難題．著重考查數(shù)列的性質和應用，解題時要注意認真審題，仔細計算．