【題目】如圖在棱錐中, 為矩形, 面, , 與面成角, 與面成角.
(1)在上是否存在一點(diǎn),使面,若存在確定點(diǎn)位置,若不存在,請(qǐng)說明理由;
(2)當(dāng)為中點(diǎn)時(shí),求二面角的余弦值.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】試題分析:(1)法一:要證明PC⊥面ADE,只需證明AD⊥PC,通過證明即可,然后推出存在點(diǎn)E為PC中點(diǎn).
法二:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D﹣XYZ,設(shè),通過得到,即存在點(diǎn)E為PC中點(diǎn).
(2)由(1)知求出面ADE的法向量,面PAE的法向量,利用空間向量的數(shù)量積.求解二面角P﹣AE﹣D的余弦值.
試題解析:
(Ⅰ)法一:要證明PC⊥面ADE,易知AD⊥面PDC,即得AD⊥PC,故只需即可,所以由,即存在點(diǎn)E為PC中點(diǎn)
法二:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-XYZ,
由題意知PD=CD=1,
,設(shè), ,
,
由,得,
即存在點(diǎn)E為PC中點(diǎn)。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, , ,
, , ,
設(shè)面ADE的法向量為,面PAE的法向量為
由的法向量為得, 得
同理求得 所以
故所求二面角P-AE-D的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有甲乙兩家公司都愿意聘用某求職者,這兩家公式的具體聘用信息如下:
(1)根據(jù)以上信息,如果你是該求職者,你會(huì)選擇哪一家公司?說明理由;
(2)某課外實(shí)習(xí)作業(yè)小組調(diào)查了1000名職場人士,就選擇這兩家公司的意愿作了統(tǒng)計(jì),得到如下數(shù)據(jù)分布:
若分析選擇意愿與年齡這兩個(gè)分類變量,計(jì)算得到的的觀測值為,測得出“選擇意愿與年齡有關(guān)系”的結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率的上限是多少?并用統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)分析,選擇意愿與年齡變量和性別變量哪一個(gè)關(guān)聯(lián)性更大?
附:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) .
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)對(duì)任意的, 恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x),且對(duì)任意x>0,都有f′(x)>.
(1)判斷函數(shù)F(x)=在(0,+∞)上的單調(diào)性;
(2)設(shè)x1,x2∈(0,+∞),證明:f(x1)+f(x2)<f(x1+x2);
(3)請(qǐng)將(2)中結(jié)論推廣到一般形式,并證明你所推廣的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) .
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值;
(Ⅱ)當(dāng)的圖像經(jīng)過點(diǎn)時(shí),求的值及函數(shù)的最小正周期.
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