Question

設(shè)
(1)若f（x）在定義域D內(nèi)是奇函數(shù)，求證：g（x）·g（-x）=1 ；
(2)若g（x）=ax且在[1，3]上，f（x）的最大值是，求實(shí)數(shù)a的值
(3)若g（x）=ax²-x，是否存在實(shí)數(shù)a，使得f（x）在區(qū)間I=[2，4]上是減函數(shù)？且對(duì)任意的x₁，x₂∈I都有
f(x)＞，如果存在，說(shuō)明a可以取哪些值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）∵f（x）在定義域D內(nèi)是奇函數(shù)
∴f（x）+f（-x）=0
+=0即=0
∴g（x）·g（-x）=1
（2）①若a＞1，則f（x）=在[1，3]上是增函數(shù)，則有f(3)=
∴f（x）==
∴a=9
②若0＜a＜1，則在[1，3]上是減函數(shù)，則有f(1)=
∴f（x）==，解得：a不存在
綜上所述：a=9
（3）①若a＞1時(shí)，要滿足題設(shè)，則有g(shù)（x）=ax²-x在[2，4]上是減函數(shù)。
∴而函數(shù)g（x）=ax²-x＞0僅在（-∞，0）上是減函數(shù)，
 故a＞1不符合題意
另解：①當(dāng)a＞1時(shí)，可知g（x）=ax²-x在[2，4]上是增函數(shù)，而函數(shù)y=是增函數(shù)，故f（x）在區(qū)間
I=[2，4]上是增函數(shù)，與已知矛盾，舍去。
②若0＜a＜1時(shí)，要滿足題設(shè)，則有g(shù)（x）=ax²-x在[2，4]上是增函數(shù)，并且g（x）>0在[2，4]上成立，
∴<2，∴a>
要對(duì)任意的x₁，x₂∈I都有f(x)＞，只要求f(x)的最小值大于的最大值即可。
∵f（x）在區(qū)間I=[2，4]上是減函數(shù)，
∴ =f（4）=，的最大值為a⁰=1
∴>1，∴a<，這與a>矛盾，舍去
綜上所述：滿足題設(shè)的實(shí)數(shù)a不存在。