Question

對于定義在區(qū)間D上的函數(shù)f（x）和g（x），如果對于任意x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1成立，那么稱函數(shù)f（x）在區(qū)間D上可被函數(shù)g（x）替代．
（1）若，試判斷在區(qū)間[[1，e]]上f（x）能否被g（x）替代？
（2）記f（x）=x，g（x）=lnx，證明f（x）在上不能被g（x）替代；
（3）設(shè)，若f（x）在區(qū)間[1，e]上能被g（x）替代，求實數(shù)a的范圍．

Answer 1

解：（1）∵，
令，
∵，
∴h（x）在[1，e]上單調(diào)增，
∴．
∴|f（x）-g（x）|≤1，即在區(qū)間[[1，e]]上f（x）能被g（x）替代．
（2）記k（x）=f（x）-g（x）=x-lnx，可得
當(dāng)時，k′（x）＜0，在區(qū)間上函數(shù)k（x）為減函數(shù)，
當(dāng)1＜x＜m時，k′（x）＞0，在區(qū)間（1，m）上函數(shù)k（x）為增函數(shù)
∴函數(shù)k（x）在區(qū)間的最小值為k（1）=1，最大值是k（m）＞1，
所以不滿足對于任意x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1成立，
故f（x）在上不能被g（x）替代；
（3）∵f（x）在區(qū)間[1，e]上能被g（x）替代，
即|f（x）-g（x）|≤1對于x∈[1，e]恒成立．
∴．，
由（2）知，當(dāng)x∈[1，e]時，x-lnx＞0恒成立，
∴有，
令，
∵=，
由（1）的結(jié)果可知，
∴F'（x）恒大于零，
∴．
②，
令，
∵=，
∵，
∴G'（x）恒大于零，
∴，
即實數(shù)a的范圍為
分析：（1）構(gòu)造函數(shù)，通過研究h（x）的導(dǎo)數(shù)得出其單調(diào)性，從而得出其在區(qū)間[[1，e]上的值域，可以證出f（x）能被g（x）替代；
（2）構(gòu)造函數(shù)k（x）=f（x）-g（x）=x-lnx，可得在區(qū)間上函數(shù)k（x）為減函數(shù)，在區(qū)間（1，m）上為增函數(shù)，因此函數(shù)k（x）在區(qū)間的最小值為k（1）=1，最大值是k（m）大于1，所以不滿足對于任意x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1成立，故f（x）在上不能被g（x）替代；
（3）根據(jù)題意得出不等式，去掉絕對值，再根據(jù)x-lnx的正負(fù)轉(zhuǎn)化為或，通過討論右邊函數(shù)的最值，得出實數(shù)a的范圍
點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，通過分類討論解決了不等式恒成立的問題，屬于難題．