Question

某地區(qū)的一種特色水果上市時間能持續(xù)5個月，預測上市初期和后期會因供不應求使價格呈連續(xù)上漲態(tài)勢，而中期又將出現(xiàn)供大于求使價格連續(xù)下跌，現(xiàn)有三種價格模擬函數(shù)：

①f(x)=p·q^x;

②f(x)=log_qx+p;

③f(x)=(x-1)(x-q)²+p(以上三式中p、q均為常數(shù)，且q＞2).

(1)為準確研究其價格走勢，應選哪種價格模擬函數(shù)，為什么？

(2)若f(1)=4,f(3)=6,求出所選函數(shù)f(x)的解析式(注：函數(shù)的定義域是［1，6］.其中x=1·表示4·月1·日，x=2·表示5·月1·日，x=3·表示6·月1·日，…，以此類推)；

(3)為保證果農(nóng)的收益，打算在價格下跌期間積極拓寬銷路，請你預測該水果在哪幾個月內(nèi)價格下跌.

(文)某地區(qū)的一種特色水果上市時間能持續(xù)5個月，預測上市初期和后期會因供不應求使價格呈連續(xù)上漲態(tài)勢，而中期又將出現(xiàn)供大于求使價格連續(xù)下跌，現(xiàn)有三種價格模擬函數(shù)：

①f(x)=4^x;②f(x)=log₄x;

③f(x)=(x-1)(x-4)²+4

(以上三函數(shù)的定義域都是［1，6］.其中x=1·表示4·月1·日，x=2·表示5·月1·日，x=3·表示6·月1·日，…，以此類推).

(1)為準確研究其價格走勢，應選哪種價格模擬函數(shù)，為什么？

(2)為保證果農(nóng)的收益，打算在價格下跌期間積極拓寬銷路，請你預測該水果在哪幾個月內(nèi)價格下跌.

Answer 1

答案：(理)解：(1)由已知水果的價格先上漲，再下跌，然后再次上漲，反映到函數(shù)的圖象上就是：先是增函數(shù)，后是減函數(shù)，又是增函數(shù).

∵①f(x)=p·q^x是單調(diào)遞增函數(shù)，

②f(x)=log_qx+p是單調(diào)遞增函數(shù)，

③f(x)=(x-1)(x-q)²+p中f′(x)=3x²-(4q+2)x+q²+2q，

令f′(x)=0,得x₁=q,x₂=,f(x)有兩個零點，既有遞增區(qū)間，又有遞減區(qū)間，

∴應選f(x)=(x-1)(x-q)²+p為其模擬函數(shù).

(2)由f(1)=4,f(3)=6,得,

解之,得(其中q=2舍去).∴f(x)=(x-1)(x-4)²+4=x³-9x²+24x-12(1≤x≤6).

(3)由f′(x)=3x²-18x+24＜0,解得2＜x＜4,

∴函數(shù)f(x)=(x-1)(x-4)²+4=x³-9x²+24x-12在區(qū)間(2，4)上單調(diào)遞減.∴這種果品在5、6月份價格連續(xù)下跌.

(文)解：(1)由已知水果的價格先上漲，再下跌，然后再次上漲，反映到函數(shù)的圖象上就是：先是增函數(shù)，后是減函數(shù)，又是增函數(shù).

∵①f(x)=4^x是單調(diào)遞增函數(shù),②f(x)=log₄x是單調(diào)遞增函數(shù)，

③f(x)=(x-1)(x-4)²+4中f′(x)=3x²-18x+24，令f′(x)=0,得x₁=4,x₂=2,

f(x)有兩個零點，既有遞增區(qū)間，又有遞減區(qū)間，∴應選f(x)=(x-1)(x-4)²+4為其模擬函數(shù).

(2)由f′(x)=3x²-18x+24＜0,解得2＜x＜4，

∴函數(shù)f(x)=(x-1)(x-4)²+4=x³-9x²+24x-12在區(qū)間(2，4)上單調(diào)遞減.

∴這種果品在5、6月份價格連續(xù)下跌.